Знаходження проміжків монотонності функції

УРОК 16

Тема уроку. Знаходження проміжків монотонності функції.

Мета уроку. Ознайомити учнів з достатньою умовою монотонності функції, з поняттям критичної точки;скласти алгоритм знаходження проміжків монотонності функції, проаналізувати помилки, допущені у контрольній роботі;розвивати логічне мислення; формувати графічну культуру.

Методи і прийоми навчання. Фронтальне опитування, колективне розв’язування вправ, метод « прес».

Хід уроку

I. Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II. Актуалізація опорних знань.

  • аналіз помилок контрольної роботи;
  • фронтальне опитування за схемою.


  1. Поясніть,яку пряму називають дотичною до графіка функції.
  2. Що таке похідна з геометричної точки зору?
  3. Яку функцію називають зростаючою, а яку спадною?

ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

Похідна функції має широке застосування при розв’язуванні різних задач математики, фізики, техніки та економіки. Так, наприклад, за допомогою похідної можна обчислити границю функції, знайти екстремум функції, інтервали монотонності, точки перегину функції та інше.

Інтервалами монотонності функції називаються ті інтервали, на яких функція або тільки зростає, або тільки спадає або залишається сталою.

Нагадаємо, що функція  називається зростаючою (спадною) на інтервалі , якщо для довільних , таких що  виконується нерівність .

Теорема 1.1. (достатня умова монотонності). Припустимо, що функція  диференційовна на . Якщо  для всіх , то  – зростаюча на ; якщо  для всіх , то  – спадна на.

Зауваження.Якщо  на , то  стала на .
Геометрична інтерпретація умови монотонності функції наведена на рис. 1.


а                                                        б

Рис. 1. Зростаюча (а) та спадна функція (б)
Якщо дотичні до кривої на деякому проміжку спрямовані під гострими кутами до осі абсцис (рис. 1, а), то функція зростає, якщо під тупими (рис. 1, б), то спадає.

Щоб дослідити функцію на монотонність, скористайтесь такою схемою:

– знайдіть область визначення функції;

– знайдіть похідну функції і область визначення похідної;

– знайдіть нулі похідної, тобто значення аргументу, при яких похідна дорівнює нулю;

– на числовому промені позначте спільну частину області визначення

функції і області визначення її похідної, а на ній — нулі похідної;

– визначте знаки похідної на кожному з отриманих проміжків;

– за знаками похідної визначте, на яких проміжках функція зростає, а на яких спадає;

– запишіть відповідні проміжки через крапку з комою.

Точки області визначення функції, в яких похідна функції дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками функції.

Приклад. Знайти інтервали монотонності функцій:

;
1. Областю визначення цієї функції є множина
2.Знаходимо похідну функції: .

3.Очевидно, що , якщо  та

4.  якщо , тобто функція зростає на інтервалах  і  та спадає на інтервалі (1;3) (рис. 2.)


Рис. 2. Інтервали монотонності функції

 

IV. Розв’язування вправ.

№11.4

  1. № Функція f(x)= спадає на проміжках, на яких похідна f'(x) < 0.

    f'(x) = = = при довільному x€R , x-2

    (x+2)2 >0, тому f'(x)<0 тоді , коли (x+6)(x-2)<0. Розв’яжемо останню нерівність методом інтервалів . Таким чином, функція спадає на проміжках (-6;-2); (-2;2) , оскільки в точці х =-2 вона не визначена.

     

    б) Функція f(x) = 0,5x4 x3 – 1,5x2 +2 зростає на проміжках, на яких

    f'(x)= 2x2 – 5x2-3x> 0 : 2x2 – 5x2-3x> 0 ↔ x(2x2 – 5x -3)>0 ↔ x(x-3)(x+0.5) >0.

    Розв’яжемо останню нерівність методом інтервалів. Таким чином, функція f(x) зростає на проміжках (- ∞).

    V. Підсумок уроку.

    Проаналізуйте,що з вивченого на сьогоднішньому уроці

  • вам вже відомо;
  • що є новим;
  • що було найскладнішим;
  • на що необхідно звернути увагу.

VІ. Завдання додому.

VІ. Завдання додому.

п. 11 № 11.2 (2), №11.4 (2,4,5)

 

 

 

 


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

УРОК 16 (46.4 KiB, Завантажень: 67)

завантаження...
WordPress: 22.88MB | MySQL:26 | 0,326sec