Збіжність і рівномірна збіжність ряду Фур’є

а. Збіжність ряду. Доведемо такі два твердження, перше з яких стосується збіжності ряду Фур’є, а друге – рівномірної збіжності цього ряду. Нагадаємо, що функція f(x) називається кусково-неперервною на відрізку [a;b], якщо вона неперервна в кожній точці цього відрізка, за винятком, можливо, скінченного числа точок, які є точками розриву першого роду. Така функція в кожній точці x
[a;b] маємо праву і ліву скінченні границі:


а на кінцях відрізка [a;b] – скінченні праву границю і ліву границю .

Кусково-неперервну на відрізку [a;b] функцію f(x) називають кусково-диференційовною на цьому відрізку, якщо похідна f’(x)
існує скрізь на відрізку [a;b] за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких f’(x)
може не існувати, однак, існують скінченні права і ліва границі:


для x
[a;b] і скінченні права границя
і ліва границя .

Інакше кажучи, функція f(x), означена на відрізку [a;b], називається кусково-диференційовною на цьому відрізку, якщо точками


відрізок [a;b] можна розбити на скінченне число відрізків (i=0,1,2,…,n-1), всередині яких існує f’(x),
а на кінцях і сама функція, і її похідна мають скінченні ліву і праву границі.

Ясно, що в кожній точці , в якій функція f(x)
має розрив, не існує похідної. Вона може не існувати і в деяких точках , у яких функція f(x)
неперервна.

Однак функція f(x),
кусково-диференційовна на відрізку [a;b], в кожній точці (i=0,1,2,…,n-1) має скінченну узагальнену праву похідну, якщо під узагальненою правою похідною в точці
розуміти границю

        (1)

При такому означенні узагальненої правої похідної правильна рівність


Справді, якщо значення функції f(x) в точці
покласти таким, що дорівнює , то на відрізку [;], де , функція f(x) задовольнятиме всі умови теореми Лагранжа.

Застосовуючи цю теорему, дістанемо.


де

Аналогічно, функція f(x), кусково-диференційовна на відрізку [a;b],
в кожній точці (i=0,1,2,…,n) має скінченну узагальнену ліву похідну, якщо під узагальненою лівою похідною в точці розуміти границю

        (2)

При такому означенні узагальненої лівої похідної справедлива рівність


Зауважимо, що коли то узагальнена права (ліва) похідна, означена за формулою (1) ((2)), є звичайна права (ліва) похідна функції f(x) в точці х=.

 


 

На геометричній мові це означає, що коли функція f(x) кусково-диференційовна на відрізку [a;b], то в кожній точці (i=0,1,2,…,n) до графіка функції f(x) існує права дотична, а в кожній точці (i=0,1,2,…,n) до того ж графіка існує ліва дотична. Обидві ці дотичні не перпендикулярні до осі Ох.

Після зроблених зауважень доведемо наступне твердження.

Теорема 1. Якщо f(x) – кусково-диференційовна на відрізку [], то її ряд Фур’є збігається на відрізку [] і його сума


дорівнює:

  1. S(x)=f(x) в кожній точці хє[], в якій f(x) неперервна.
  2. в кожній точці хє[], в якій функція f(x) має розриви першого роду,
  3. .

Доведення. Функцію f(x) з піввідрізка [] продовжимо періодично на всю числову пряму. Так, продовжену функцію позначимо . При цьому в точці вона буде двозначною, якщо . Оскільки коефіцієнти Фур’є виражаються через інтеграл, то ряди Фур’є двох функцій, відмінних між собою лише в скінченному числі точок відрізка [], збігаються. Тому допускаємо, що . При такій умові можлива двозначність функції в точці зникає.

Покажемо тепер, що ряд Фур’є 2 -періодичної функції в кожній точці збігається до числа

.

Використовуючи нерівності (3) і (5) з 12.2, різницю між n-ою частинною сумою ряду Фур’є функції і числом можна зобразити у вигляді

    (3)

Нам треба довести, що інтеграл, що стоїть у правій частині рівності (3), прямує до нуля при

Для цього розглянемо функцію


і покажемо, що вона кусково-неперервна на відрізку . Дійсно, у півінтервалі функція неперервна, за винятком, можливо, скінченного числа точок, в яких вона має розрив першого роду, оскільки саме такою є функція . Покажемо існування скінченної правої границі цієї функції в точці t=0. Тут можливі три випадки.

    1) лежить всередині проміжку, в якому функція диференційована; тоді, застосовуючи теорему Лагранжа, дістанемо


де і, отже,


    2) – одна з точок, в якій функція має розрив першого роду; тоді, як було показано вище,


де і — узагальнені права і ліва похідні, і, отже . При


3)
— одна з точок, в яких функція
неперервна, а не існує; тоді, як було показано вище,


де
і
— звичайні права і ліва похідні, і, отже,


Таким чином, функція
в точці t=0 має скінченну праву границю.

Цим доведено, що функція кусково-неперервна на відрізку .

Введемо в розгляд функцію

.

Ця функція кусково-неперервна на відрізку .

Рівність (3) тепер можна зобразити так:


де і — коефіцієнти Фур’є відповідно функцій

і

Функції і , будучи кусково-неперервними на відрізку , інтегровні на цьому відрізку, тому їх коефіцієнти Фур’є прямують до нуля при . Звідси маємо:

        (4)

Оскільки для точок
і оскільки
,
то з (4) дістаємо

в кожній точці , в якій функція
неперервна або має розрив першого роду,


Теорему доведено.

б. Рівномірна збіжність. Кусково-неперервну функцію на відрізку [a;b]
називають кусково-гладкою на цьому відрізку, якщо існує і неперервна скрізь на відрізку [a;b]
за винятком, можливо, скінченного числа точок, у кожній з яких існують скінченні права і ліва границі:

і

для , і скінченні права границя і ліва границя .

Інакше кажучи, функція , означена на відрізку [a;b]
називається кусково-гладкою на цьому відрізку, якщо точками


відрізок [a;b]
можна розбити на, скінченне число відрізків (i=0,1,2,…,n-1) всередині яких існує і неперервна , а на кінцях і сама функція, і її дохідна мають скінченні ліву і праву границі.

Ясно, що кусково-гладка функція на відрізку [a;b]
буде і кусково-диференційовною на цьому відрізку.

Теорема 2. Якщо неперервна і кусково-гладка на відрізку
функція
має однакові значення на кінцях цього відрізка, то її ряд Фур’є збігається до рівномірно на відрізку .

Доведення. За теоремою 1, ряд Фур’є функції на відрізку збігається до :

(5)

Покажемо рівномірну збіжність цього ряду на цьому відрізку. Функція , будучи кусково-неперервною на відрізку , інтегровна на цьому відрізку. Для її коефіцієнтів Фур’є


правильна нерівність Бесселя:

        (6)

Встановимо зв’язок між коефіцієнтами Фур’є функцій і . Маємо:



Оскільки .

Для будь-якого і правильні нерівності

        (7)

Числовий ряд збігається, як сума двох збіжних рядів і .

Звідси і з нерівностей (7) за ознакою Вейєрштрасса випливає рівномірна збіжність ряду (5) на відрізку .

Теорему доведено.

Розглянемо два приклади.    

Приклад 1. Розкласти в ряд Фур’є функцію


 

 

Ця функція кусково-неперервна на відрізку . Її похідна для і . В точках ця похідна не існує, однак існують праві і ліві границі

.

Таким чином, для цієї функції виконані всі умови теореми 1. За теоремою 1, ряд Фур’є цієї функції збігається до
на всьому відрізку . Обчислимо коефіцієнти Фур’є. Маємо:





Розклад у ряд Фур’є нашої функції має вигляд:


Поклавши
, дістанемо цікаву рівність Лейбніца

.

П р и к л а д 2. Розкласти в ряд Фур’є функцію
для

Ця функція неперервна на , причому . Її похідна
= 1 для ,
= -1 для . В точці х=0 похідна не існує. Однак існують скінченні праві і ліві границі

.

Крім того, існують скінченні границі

.

Ці праві і ліві границі є відповідно правими і лівими похідними у відповідних точках. Таким чином, для цієї функції виконані всі умови теореми 2. За теоремою 2, ряд Фур’є цієї функції збігається до рівномірно на відрізку .

Обчислимо коефіцієнти Фур’є. Маємо:

,


При обчисленні інтегралів ми скористались тим, що підінтегральні функції парні. Оскільки функція — непарна, то

Розклад у ряд Фур’є функції ,
має вигляд:


причому ряд збігається рівномірно на відрізку . Поклавши х=0, дістанемо рівність


в. Теорема Карлсона. В пункті 1 було розглянуто питання про І
збіжність ряду Фур’є кусково-диференційовної функції.
А як поводитиме себе ряд Фур’є з точки зору збіжності для до
вільної функції, інтегровної на відрізку?

Це питання довгий час не можна було розв’язати. Тільки останнім
часом воно було розв’язане шведським математиком Карлсоном.
Щоб сформулювати результат Карлсона, введемо поняття майже
скрізь.

Нехай дано множину Е точок на прямій. Вважають, що множина покрита послідовністю інтервалів скінченною чи нескінченною, якщо кожна точка х € Е належить принаймні одному з інтервалів . Крім того, вважають, що множина Е має Лебегову міру (Лебегову довжину), яка дорівнює нулю, якщо для будь-якого числа >0 можна вказати послідовність інтервалів скінченну чи нескінченну, що покривають множину Е, сума довжин щ#щ.:ї|йенша від :

.

Якщо деяка властивість має місце скрізь на множині Е, за винятком, можливо, точок множини , Лебегова міра якої дорівнює нулю, то вважають, що ця властивість має місце майже скрізь на множині Е.

Теорема 3 (Карлсона). Ряд Фур’є функції , інтегровної за Ріманом на відрізку , збігається до майже скрізь на цьому відрізку.

Доведення цієї теореми дуже складне, і ми його наводити тут не будемо.

г. Розкладання функції в тригонометричний ряд. Якщо функція на відрізку кусково-диференційовна, і якщо її значення в точці розриву першого ряду дорівнює середньому арифметичному її правої і лівої границь у цій точці, то, за теоремою 1, ця функція в інтервалі може бути зображена у вигляді суми свого ряду Фур’є. Звідси не випливає, звичайно, що в тригонометричний можна розкладати функції, означені тільки на

 


 

 

відрізку . Припустимо, що функція кусково-диференційовна на відрізку [а; b], який міститься у відрізку . Продовжимо цю функцію з відрізка [а; b] на відрізок , вважаючи її на відрізках [; b] і [а;], наприклад, лінійною. Ми дістали функцію , кусково-диференційовну на відрізку . За теоремою 1, вона на відрізку може бути зображена у вигляді суми її ряду Фур’є


Оскільки для хє[а; b], то функцію можна зобразити у вигляді суми тригонометричного ряду (7) для хє[а; b]. Якщо функція кусково-диференційовна на відрізку , то її в цьому відрізку можна зобразити як у вигляді суми тригонометричного ряду, що містить тільки косинуси, так і у вигляді суми тригонометричного ряду, що містить тільки синуси. Справді, функцію , означену на відрізку [0;а], можна продовжити на відрізок [-а; 0] парним способом, поклавши


для хє[0; а]. В результаті дістанемо парну функцію на відрізку [-а;а]. Якщо а <, то функцію продовжимо парним способом з відрізка [-а;а] на відрізок , вважаючи її на відрізках [; b] і [а;], наприклад, лінійною. Так, добута парна функція буде кусково-диференційовна на відрізку . Коефіцієнти Фур’є


цієї функції дорівнюють нулю, оскільки — непарна функція. Коефіцієнти Фур’є


можна обчислювати за формулою


 

 

 

тому що — парна функція.

Функція на відрізку

зобразиться у вигляді суми свого ряду Фур’є:


Оскільки для хє[0; а], то для хє [0; а] маємо рівність

            (8)

тобто функція , кусково-диференційовна на відрізку [0; а], зображена у вигляді суми тригонометричного ряду (8), що містить тільки косинуси.

Проте фйрецію , кусково-диференційовну на відрізку , можна продовжити на відрізок [-а;0] непарним способом,
поклавши


для хє[0; а]. В результаті дістанемо непарну функцію на відрізку [-а;а].

Якщо , то функцію продовжимо непарним способом з відрізка [-а;а]на відрізок , вважаючи її на відрізках
і , наприклад, лінійною. Так, добута непарна функція буде кусково-диференційовною на відрізку . Коефіцієнти Фур’є


цієї функції дорівнюють нулю, оскільки — непарна функція. Коефіцієнти Фур’є


можна обчислили за формулою


тому що — парна функція. Функція на відрізку зобразиться у вигляді суми свого ряду Фур’є


Оскільки для хє[0; а], то для хє[0; а]
маємо рівність:

    (9)

тобто функція , кусково-диференційовна на відрізку [0; а], зображена в півінтервалі [0; а] у вигляді суми тригонометричного ряду (9). Якщо функція в точці х=0 дорівнює нулю, то рівність (9) буде правильною для всіх хє[0; а]. Нарешті, зробимо ще одне зауваження. Якщо функція задана на відрізку [-l;l] довільної довжини 2l і кусково-диференційовна на ньому, то, використавши підстановку

,

дістанемо функцію від у, кусково-диференційовну на відрізку . Цю функцію принаймні в інтервалі можна розкласти в ряд Фур’є:


коефіцієнти якого означаються за формулами

.        (10)

Якщо повернутись до попередньої змінної х, покладаючи

(11)

то дістанемо розклад функції в інтервалі [-l;l] в тригонометричний ряд вигляду

(12)

Коефіцієнти цього тригонометричного ряду, означувані за формулами (10), можна за допомогою підстановки (11) перетворити

    (13)

Якщо функція кусково-диференційовна на відрізку [0; l], то її на цьому відрізку можна розкласти в ряд по косинусах


а в інтервалі [0; l] — в ряд по синусах


де
і
обчислюються за формулами (13).

 

 

 

 

 

 

 

 

Висновок

Отже, тригонометричний ряд , коефіцієнти якого — коефіцієнти, Фур’є функції , називають рядом Фур’є цієї функції і записують

    

В останньому записі стоїть знак відповідності ~ який свідчить про те, що інтегровній на відрізку функції у відповідність ставиться її ряд Фур’є. В яких випадках знак відповідності можна замінити знаком рівності — одна із задач, які ми будемо розв’язувати в даному розділі. Добуте ж нами вище можна сформулювати у вигляді такого твердження.

 

Теорема. Якщо функція на відрізку зображується у вигляді суми рівномірно збіжного на цьому відрізку тригонометричного ряду , то цей тригонометричний ряд єдиний і є рядом Фур’є функції .

Ця теорема аналогічна теоремі з іншого розділу.

Тут ми виявляємо аналогію із степеневими рядами. Подібно до того, як степеневий ряд є рядом Тейлора своєї суми , так і рівномірно збіжний тригонометричний ряд є рядом Фур’є своєї суми .

В теорії степеневих рядів ми бачили, що ряд Тейлора функції
може збігатися в деякому інтервалі до функції , відмінної від (приклад Кощі)

В теорії тригонометричних рядів ми спостерігаємо іншу картину.

Якщо ряд Фур’є — періодичної неперервної функції
збігається в деякій точці, то його сума в цій точні
неодмінно дорівнює .

завантаження...
WordPress: 22.98MB | MySQL:26 | 0,368sec