Загальна схема дослідження функції й побудова її графіка

Урок 23

Тема. Загальна схема дослідження функції й побудова її графіка.

Мета.
Повторити властивості функцій, формувати навички дослідження функції й побудови її графіка. Розвивати аналітичне мислення учнів, уміння порівнювати, зіставляти, узагальнювати, розвивати навички роботи з комп’ютерними програмами. Виховувати інтерес до предмета й комп’ютерної техніки, наполегливість у досягненні поставленої мети, охайність і точність виконання дій під час роботи на комп’ютері, заохочувати до самостійної навчальної діяльності.

Місце проведення:
комп’ютерний клас.

Програмне забезпечення: Advanced Grapher.

Методи і прийоми навчання. Фронтальна бесіда, комп’ютерна презентація,робота в групах,

«Предмет математики настільки серйозний, що не слід упускати можливості зробити його набагато цікавішим»

Б. Паскаль

Хід уроку

I. Організаційна частина. Формування робочого настрою

Інструктаж з техніки безпеки під час роботи з комп’ютером.

Перевірка домашнього завдання (фронтальна).

Сьогодні на уроці ми розглянемо загальну схему дослідження функції й побудову її графіка. Функції ми зустрічаємо скрізь на практиці, функції описують рух, фізичні явища. Вони зустрічаються в техніці, геометрії, механіці, хімії, економіці. Вивчаючи функції, ми вивчаємо конкретні явища, які вони описують. Математичний аналіз є засобом вивчення функції, і в той же самий час засобом вивчення навколишніх нас явищ. Одним з важливих понять математичного аналізу є похідна. І сьогодні, у центрі уваги – дослідження функції за допомогою похідної і побудова її графіка як аналітично, так і за допомогою комп’ютера в програмах Microsoft Office Excel і Advanced Grapher.

II. Актуалізація опорних знань.

Учитель повторює з учнями схему дослідження функції, що містить у собі знаходження певних характеристик функції, словесне визначення яких дане в лівому стовпчику схеми, а графічне в правій.

(Усе демонструється на екрані – Додаток 1)

 

1. Область визначення, тобто множина значень аргументу, при яких задана функція Проекція графіка на вісь Ох.
2. а) Парність функції

 

б) Непарність функції

а) Графік симетричний щодо осі Оу.

б) Графік симетричний відносно початку координат.

3. Нулі, тобто точки, у яких функція дорівнює нулю, або інакше розв’язання рівняння Точки перетину графіка з віссю Ох.
4. Проміжки постійного знака, тобто проміжки, в яких функція додатна (від’ємна), або інакше розв’язання нерівності ( ) Відрізки осі Ох, що відповідають точкам графіка, які лежать вище (нижче) осі Ох.
5. Точки екстремуму, тобто точки, що належать області визначення, у яких функція набуває найбільшого (максимум) або найменшого (мінімум) значення в порівнянні зі значеннями в близьких точках «Вершини» на графіку функції
6. Проміжки монотонності, тобто проміжки, в яких функція або зростає, або спадає Відрізки осі Ох, де графік йде вгору або вниз
7. Найбільше й найменше значення функції (у порівнянні з усіма можливими на відміну від екстремумів, де порівняння ведеться тільки із близькими точками) Ординати найвищої й найнижчої точок графіка
8. Область значень функції, тобто множина чисел, яки містить всі значення функції Проекція графіка на вісь Оу

ІІІ. Вивчення нового матеріалу

Питання: У яких пунктах даної схеми дослідження функції можна застосувати похідну?

Відповідь: У пунктах 5 і 6.

Учні повторюють знаходження монотонності, точок екстремумів функції за допомогою похідної (Слайд1). Використовують для опису пунктів 5 і 6 вище викладеної схеми.

Слайд 1

 

Монотонність


 

 

 

 



Екстремуми


 

 


Загальна схема дослідження функції й побудова її графіка

f(x) = 3x4 – 4x3 + 1


кроку

Алгоритм Виконання алгоритму
1. Знаходимо область визначення функції  

2. Досліджуємо функцію на парність, непарність – функція ні парна, ні непарна
3. Знаходимо точки перетину графіка з осями координат і




4. Знаходимо похідну функції і її критичні точки

,


і


і – критичні точки

5. Знаходимо проміжки зростання, спадання функції, точки екстремуму й екстремуми функції

 

 



– не є точкою екстремуму

– точка мінімуму

6. Будуємо графік функції

 

ІV. Розв’язування вправ

1.Перед виконанням завдань доцільно повторити правила диференціювання й знаходження похідних елементарних функцій (Слайди 2, 3), правила побудови графіків у програмі Advanced Grapher.

 

 

Cлайд 2

Правила диференціювання

 

Слайд 3
Похідні елементарних функцій
y y’
c 0
kx+b k
xn nxn-1
ex ex

 

2.Робота в парах («теоретик», «практик»)

«Теоретик» досліджує функцію й будує її графік у зошиті; «практик», використовуючи програму Advanced Grapher, досліджує цю функцію й будує її графік на комп’ютері. Після виконання роботи учні звіряють графіки, що вийшли, аналізують відповіді на питання.

Завдання 1.

«Теоретикові»: Дослідити за допомогою алгоритму функцію й побудувати її графік у зошиті.

«Практику»: Побудувати графік функції і за графіком відповісти на питання:

  1. Область визначення.
  2. Нулі функції.
  3. Критичні точки.
  4. Проміжки зростання (спадання) функції
  5. Точки екстремуму функції.
  6. Екстремуми функції.

    Дослідження функції й побудова графіка

    Розв’язання «теоретика»

    1.    D(y)=R

    2.    Знаходимо нулі функції:




    і

    3.    Визначаємо парність: функція ні парна, ні непарна, неперіодична

    4.    

    ,


    , – критичні точки

    5.    

    f

    f'(-1)=3·(-1)2-6·(-1)>0

    f'(1)=3·12-6·1<0

    f'(3)=3·32-6·3>0

    x=0 – точка максимуму

    x=2 – точка мінімуму

    fmin=f(0)=0

    fmax=f(2)= 23-3·2=-4

    6. Будуємо ескіз графіка

     

    Розв’язання «практика»

    Дослідження функції Y(x)=x^ 3-3x^2

    Мінімум X = -10

    Максимум X = 10

    Точність (десят. знаків) = 2

    Кількість кроків = 200

    Y'(x)=3*x^ 2-3*2*x

    Нулі функції: 1,3

    Екстремуми: 2

    X Y

    max 0 0

    min 2 -4

    Завдання 2.

    Для виконання другого завдання учні в парах обмінюються ролями.

    Дослідження функції й побудова графіка

    Розв’язання «теоретика»

    1. D(y)=R

    2. Знаходимо нулі функції:


    x=0 і x=1 і x= -1

    3.     – графік симетричний щодо осі Оу.

    4.    


    , ,




    і й – критичні точки

    5.

     


    f

     

    f'(-2)=4(-2) 3-2(-2)<0




    f'(2)=4·23-2·2>0



    і – точки мінімуму


    х=0 – точка максимуму





    6. Будуємо ескіз графіка.

    Розв’язання «практика»

    Дослідження функції Y(x)=x^ 4-x^2

    Мінімум X = -10

    Максимум X = 10

    Точність (десят. знаків) = 2

    Кількість кроків = 200

    Y'(x)=4*x^ 3-2*x

    Нулі функції: -1,0,1

    Екстремуми: 3

    X Y

    min -0.71 -0.25

    max 0 0

    min 0.71 -0.25

    V. Підсумок уроку

    Учні займають місця за партами. Учитель аналізує типові помилки, які були допущені при виконанні роботи у зошитах і на комп’ютері.

    VI. Завдання додому.


    п. 15приклад 3,4 ст. 144 – 147

    № 15.2 (2), № 15.4 (5)

     


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 23 (121.2 KiB, Завантажень: 22)

завантаження...
WordPress: 18.33MB | MySQL:23 | 0.384sec