Задачі, які приводять до поняття похідної

 УРОК 4 -5

Тема уроку.
Задачі, які приводять до поняття похідної.

Мета уроку: познайомити учнів із задачами, які приводять до поняття похідної: задача про миттєву швидкість; задача про дотичну до кривої; працювати над засвоєнням учнями поняття приріст аргументу та приріст функції; ознайомити з поняттям дотичної до кривої, миттєвої швидкості;розвивати логічне мислення,графічну культуру.

Методи і прийоми навчання. Колективне розв’язування вправ, робота в групах, метод «прес».

 

 

Хід уроку

І.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

ІІ. Актуалізація знань умінь та навичок.

Самостійна робота.

І варіант

1) Розв’яжіть рівняння |2х — 3| = 9 – х. (3 бали)

2) Розв’яжіть нерівність |2х – 3| < 2 – х.
(3
бали)

3) Знайдіть границі функції:

а) ; б) . (6 балів)

II варіант

1) Розв’яжіть рівняння |1 – 3х| = 4 – х. (3 бали)

2) Розв’яжіть нерівність |3х + 2| > 2х + 3. (3
бали)

3) Знайдіть границі функції:

а) ; б) . (6 балів)

Відповідь: І варіант. 1) -6; 4; 2) ; 3) а) 2; 6) -6.

ІІ варіант. 1) -1,5; 1,25; 2) (-;-1)U(l;+); 3) a) ; б) 4.

IIІ. Мотивація навчання.

Поняття похідної — фундаментальне поняття математичного аналізу, за допомогою якого досліджують процеси і явища в природничих, соціальних і економічних науках. Вивчення різних процесів (механічного руху, хімічних реакцій, розширення рідини при нагріванні, значення електричного струму та ін.) приводять до необхідності обчислення швидкості зміни різних величин, тобто до поняття похідної. Отже, наша найближча мета — познайомитися з поняттям похідної, навчитися знаходити похідні елементарних функцій та застосовувати поняття похідної до дослідження функцій, вивчення деяких фізичних явищ, до вивчення геометричних понять.

IV. Сприймання і усвідомлення поняття миттєвої швидкості

прямолінійного руху матеріальної точки.

Нехай матеріальна точка Μ рухається прямолінійно по закону s = f(t) (рис. 20).

В момент часу t0 вона зайняла положення М0 і пройшла шлях S0 = f(t0). Знайдемо швидкість точки в момент часу t0.

Припустимо, що за довільно вибраний проміжок часу Δt, починаючи з моменту t0, точка перемістилася на відстань Δs і зайняла положення М1. Тоді

t1 = t0 + Δt, s1 = f(t1) = s0 + Δs.

За проміжок часу Δί матеріальна точка проходить шлях

Δx = f(t1)
– f(t0) = f(t0 + Δt)f(t0). Середня швидкість υ руху на проміжку Μ0М1 дорівнює: .

Ця величина дає лише приблизне уявлення про швидкість руху матеріальної точки на розглянутому проміжку. Вона буде більш точніша, якщо проміжок Δt буде зменшуватися.

Таким чином, можна вважати, якщо Δt наближається до нуля, то середня швидкість буде наближатися до швидкості в момент часу t0.

 

Миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, в момент часу t0 називається границя середньої швидкості при умові, що Δt наближається до нуля.


Числа Δt, Δs називаються відповідно приростом часу, приростом шляху.

Отже, миттєвою швидкістю точки, яка рухається прямолінійно, є границя відношення приросту шляху Δs до відповідного приросту часу Δt, коли приріст часу наближається до нуля.

Приклад 1.

Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 5t2 + t + 3 (s — шлях в метрах, t – час в секундах). Знайдіть швидкість точки:

а) в довільний момент t0; б) в момент часу t = 2 с.

Розв’язання

а) 1) нехай значення аргументу t0 одержало приріст Δt, тоді t1 = t0 + Δt .

2) Знайдемо відповідний приріст шляху

Δs = s(t0 + Δt) – s(t0) = 5(t0 + Δt)2 + (t0 + Δt) + 3 – (5 t02 + t0 + 3) = 5 t02 +10 t0 Δt + 5Δt2 + t0 + Δt + 3 – 5t02t0 3 = 10t0Δt + 5Δt2 + Δt.

 

 

3) Знайдемо відношення приросту шляху до приросту часу (середню швидкість):

4) Знайдемо границю відношення приросту шляху до приросту часу (середньої швидкості):

Отже, миттєва швидкість точки в довільний момент часу t0 дорівнює 10t0 + 1.

Отже, при заданому законі руху s(t) миттєва швидкість v(t) в довільний момент часу t обчислюється по формулі v(t) = 10t + 1.

б) Якщо t = – 2 с, то маємо v(2) = 10 · 2 +1 = 21 ;

Відповідь: а) 10t + 1; б)
21.

Виконання вправ

1. Точка рухається прямолінійно по закону s(t) = 3t2 – 4t + 2.

Знайдіть: а) швидкість точки в довільний момент часу t ;

б) швидкість точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: а) 6t0 – 4; б) 2.

2. Точка рухається по закону s(t) = (вільне падіння).

Знайдіть: а) швидкість точки в довільний момент часу t0;

б) швидкість точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: a) gt0; б) g.

3. Точка рухається по закону s(t) = (м) (рівноприскорений рух з початковою швидкістю v0 та прискоренням а).

Знайдіть швидкість точки: а) в довільний момент часу t0;

б) в момент часу t = 1 с.

Відповідь: a) v0 + at0; б) ( v0 + a).

4. Величина кута φ повороту точки навколо осі в залежності від часу задано формулою φ(t) = 3t2 – 2t + 7 (рад). Виведіть формулу для обчислення миттєвої кутової швидкості x та обчисліть її значення при t = 1 с.

Відповідь: x = 6t – 2; 4 .

5. При нагріванні тіла його температура змінюється в залежності від часу нагрівання t по закону T(t) = 0,5t2 + 4t. Виведіть формулу для обчислення миттєвої швидкості Χ зміни температури тіла.

Відповідь: х = t + 4.

В курсі геометрії ви познайомились з означенням дотичної до кола: дотичною до кола називається пряма, яка лежить в площині кола і має з колом лише одну спільну точку. Таке означення дотичної не може бути перенесено на всі криві (парабола, синусоїда, гіпербола тощо).

Наприклад, вісь ΟΥ має тільки одну спільну точку з графіком функції у = х3, проте її не можна вважати дотичною до кубічної параболи в точці 0 (рис. 21).

 


Пряма у = 1 і синусоїда у = sin(x) мають безліч спільних точок (рис. 22), проте пряму у = – 1 вважають дотичною до синусоїди.

 

Для введення означення дотичної до кривої розглянемо функцію у = f(x) і її графік — криву лінію (рис. 23). Нехай точки А і Μ належать графіку функції у = f(x), проведемо січну AM.

Зафіксуємо точку А. Нехай точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А. При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А і в граничному положенні при наближенні точки М до точки А січна займе положення прямої АТ. Пряму АТ називають дотичною до даної кривої в точці А.

Дотичною АТ до графіка функції у = f(x) в точці А називається граничне положення січної AM, коли точка М, рухаючись по кривій, наближається до точки А.

Слід мати на увазі, що не в усякій точці кривої можна провести до неї дотичну. На рис. 24 зображено криву у = f(x), яка в точці А не має дотичної, бо якщо точка М буде наближатися до точки А по лівій частині кривої, то січна МА займе граничне положення AQ.

Якщо точка N буде наближатися по правій частині кривої, то січна ΝΑ займе граничне положення AT. Одержуємо дві різні прямі AQ і АТ, це означає, що в точці А до даної кривої дотичної не існує.

Поставимо задачу: провести дотичну до графіка функції у = f(x) в точці А(х0; у0).

Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай в точці А(х0; у0) (рис. 26) кривої у = f(x) існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) Надамо аргументу х0 приросту Δх, одержимо нове значення аргументу х0 + Δх.

2) Знайдемо відповідний приріст функції: Δу = f(х0 + Δх) – f(х0)

Дотична — це пряма, а положення прямої у= kx + b, яка проходить через точку А(х0; у0) визначається кутовим коефіцієнтом прямої k = tg α, де α — кут між прямою і додатнім напрямом осі ОХ (рис. 25).


Отже, провести дотичну до графіка означає знайти число k.

Нехай в точці А(х0; у0) (рис. 26) кривої у = f(x) існує дотична, визначимо кутовий коефіцієнт дотичної. Для цього:

1) Надамо аргументу х0 приросту Δх, одержимо нове значення аргументу х0 + Δх.

2) Знайдемо відповідний приріст функції: Δу = f(х0 + Δх) – f(х0)

 

3) Знайдемо відношення .

Із трикутника АМК маємо: = tgМАК. Так як ΜΑΚ = φ — куту нахилу січної AM з додатним напрямом осі ОХ, то = tg φ.

4) Якщо Δх→0, то Δу→0 і точка М буде переміщуватися по кривій, наближаючись до точки А.

При цьому січна AM буде повертатися навколо точки А, а величина кута φ буде змінюватися зі зміною Δх. Граничним положенням січної AM при Δх→0 буде дотична АТ, яка утворює з додатним напрямом осі ОХ деякий кут, величину якого позначимо через α.

Отже, кутовий коефіцієнт дотичної. Виконання вправ

  1. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х2 4х в точці з абсцисою х = 2,5.

    Відповідь: k = 1.

  2. Знайдіть кутовий коефіцієнт дотичної до параболи у = х2 + х в довільній точці з абсцисою х = х0.

    Відповідь: 2х + 1.

     

  3. Знайдіть кут між дотичною до параболи у = х2 2х + 3 і додатним напрямом осі абсцис у точці:

    а) х0 = 1,5; б) х0 = 0,5; в) х0 = 1; г) х0 = 2.

    Відповіді: а) 45°; б) 135°; в) 0°; г) arctg 2.

    V. Розв’язування тренувальних вправ.

    Учні працюють в групах за схемою «два-чотири».

    1. Дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою xo утворює з додатним напрямом осі ОХ кут 45°. Знайдіть f'(xо).Відповідь: 1.

    2. Відомо, що тангенс кута нахилу дотичної до графіка функції у = f(x) в точці з абсцисою хo = –1 дорівнює 3. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції в цій точці, якщо f(xo)
    = 2.

    Відповідь: у = 3x + 5.

    3. Який кут (гострий чи тупий) утворює з додатним напрямом осі ОХ дотична до графіка функції: а) у = х2 + 2х в точці x = 1; б) у = х2 + 2х в точці x = –27

    Відповідь: а) гострий; б) тупий.

    4. Запишіть рівняння дотичної до параболи у = 3х2 – 2 у точці:

    а) xo = -2; б) xo = 0; в) xo = 1.

    Відповіді: а) у = – 12х – 14; б) у = –2; в) у = 6х – 5.

    За зразком учні виконують самостійно аналогічні завдання.

    VІ. Підсумок уроку.

    Метод « Прес»

    На уроці для мене відомими були наступні факти…

    На уроці я навчився(лася) …

    Найцікавішим моментом даного уроку був…

    VIІ. Завдання додому.

    п. 6., приклад 2 ст. 50 № 6.6., 6.8


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

УРОК 4 (94.5 KiB, Завантажень: 79)

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,340sec