Випадковий дослід і випадкова подія. Відносна частота події

Урок 6,7

Тема: Випадковий дослід і випадкова подія. Відносна частота події.

Ймовірність події.

Мета: Ввести поняття «випробовування», « подія», « відносна частота»,

«ймовірність події», навчити здійснювати операції над подіями,

вчити розв’язувати задачі на знаходження ймовірності; розвивати

логічне мислення та алгоритміку розв’язування ймовірностних задач.

Хід уроку :

І. Лекційний виклад теми:

Теорія ймовірності виникла як наука з переконання, що в основі масових випадкових подій лежать детерміновані закономірності.
Теорія ймовірності вивчає дані закономірності.
Наприклад: визначити однозначно результат випадання “орла” або “решки” в результаті підкидання монети не можна, але при багаторазовому підкиданні випадає приблизно однакове число “орлів” і “решек”.
Випробуванням називається реалізація певного комплексу умов, який може відтворюватися необмежену кількість разів. При цьому комплекс умов включає в себе випадкові фактори, реалізація якого в кожному випробуванні призводить до неоднозначності результату випробування.
Наприклад: випробування – підкидання монети.
Результатом випробування є подія.
Подія буває:
Достовірне (завжди відбувається в результаті випробування);
Неможливе (ніколи не відбувається);
Випадкове (може відбутися або не відбутися в результаті випробування).
Наприклад: При підкиданні кубика неможлива подія – кубик стане на ребро, випадкова подія – випадання будь-якої межі.
Конкретний результат випробування називається елементарним подією.

У результаті випробування відбуваються тільки елементарні події.
Сукупність усіх можливих, різних, конкретних результатів випробувань називається простором елементарних подій.

Наприклад: Випробування – підкидання шестигранного кубика. Елементарна подія – випадання межі з “1” або “2”.
Сукупність елементарних подій це простір елементарних подій.

Складним подією називається довільна підмножина простору елементарних подій.
Складне подія в результаті випробування настає тоді і тільки тоді, коли в результаті випробувань сталося елементарна подія, що належить складного.
Таким чином, якщо в результаті випробування може відбутися тільки одна елементарна подія, то в результаті випробування відбуваються всі складні події, до складу яких входять ці елементарні.
Наприклад: випробування – підкидання кубика. Елементарна подія – випадання грані з номером “1”. Складне подія – випадання непарної грані.
Введемо наступні позначення:
А – подія;
w – елементи простору W;
W – простір елементарних подій;
U – простір елементарних подій як достовірне подія;
V – неможлива подія.
Іноді для зручності елементарні події будемо позначати E i, Q i.

Операції

 

над подіями.

1. Подія C називається сумою A + B, якщо воно складається з усіх елементарних подій, що входять як у A, так і в B. При цьому якщо елементарна подія входить і в A, і в B, то в C воно входить один раз. У результаті випробування подія C відбувається тоді, коли відбулася подія, яка входить або в A або в B. Сума довільної кількості подій складається з усіх елементарних подій, які входять в одне з Ai, i = 1, …, m.

 

B

 

A

 

W


2. Подія C є сумою A і B, якщо воно складається з усіх елементарних подій, що входять і в A, і в B. Сумою довільного числа подій називається подія. яка складається з елементарних подій, що входять в усі Ai, i = 1, …, m.

B

 

W

 

A


3. Різницею подій AB називається подія C, що складається з усіх елементарних подій, що входять в A, але не входять до B.

B

 

W

 

A


4. Подія називається протилежною події A, якщо воно задовольняє двом властивостям.
Формули де Моргана: і

A

 

W


5. Події A і B називаються несумісними, якщо вони ніколи не можуть відбутися в результаті одного випробування.
Події A і B називаються несумісними, якщо вони не мають спільних елементарних подій.
C = A × B = V
Тут V – порожня множина.

Частота настання події.

Нехай простір елементарних подій звичайно і складається з m елементарних подій. У цьому випадку в якості можливих результатів випробувань розглядають 2 m подій – безліч всіх підмножин простору елементарних подій W і неможливе подія V.
Приклад:

W = (w 1, w 2, w 3)

A 1 = V
A 2
w= ( 1)

A 3
w= ​​( 2)

A 4
w= ( 3)

A 5
w= ( 1,
w
2)

A 6
w= ( 2,
w
3)

A 7
w= ( 1,
w
3)

A 8 = (w 1, w 2, w 3)

Позначимо систему цих подій через F. Беремо довільне подія AÎF. Проводимо серію випробувань в кількості n. n – це кількість випробувань, в кожному з яких відбулася подія A.
Частота настання події A в n випробуваннях називається число

Властивості частоти.

1.
2. Частота достовірного події дорівнює 1.
W
n (U) = 1.
3. Частота суми попарно несумісних подій дорівнює сумі частостей.
Розглянемо систему A i, i = 1, …, k; події попарно несумісні, тобто
Подія
Нехай у результаті деякого випробування відбулася подія A. За визначенням суми це означає, що в цьому випробуванні відбулося деяке подія A i. Так як всі події попарно несумісні, то це означає, що ніяка інша подія A j (i ¹ j) в цьому випробуванні відбутися не може. Отже:
n A = n A1 + n A2 +…+ n Ak


Теорія ймовірності використовується при описі тільки таких випробувань, для яких виконується таке припущення: Для будь-якої події A частость настання цієї події в будь-який нескінченної серії випробувань має один і той же межа, який називається ймовірністю настання події A.

Отже, якщо розглядається ймовірність настання довільного події, то ми розуміємо це число таким чином: це частость настання події в нескінченній (досить довгої) серії випробувань.
На жаль, спроба визначити ймовірність як межа частості, при числі випробувань, що прагнуть до нескінченності, закінчилася невдало. Хоча американський вчений Мізес створив теорію ймовірності, що базується на цьому визначенні, але її не визнали через великої кількості внутрішніх логічних невідповідностей.
Теорія ймовірності як наука була побудована на аксіоматиці Колмогорова.

Завдання на умовну ймовірність.

В урні знаходяться 3 білих і 2 чорних кулі. Виймаються 2 шари.
Знайти ймовірність, що обидві кулі білі.
А 1 – біла куля
А 2 – біла куля
P (A 1 A 2) =?
C = A 1 A 2


Якщо перша куля повертається в урну.
P (A 1) = P (A 2)


Завдання на підрахунок ймовірностей

Мішень складається з 4 зон, проводиться один постріл.
Знайти ймовірність промаху, якщо ймовірність попадання в зони відома і дорівнює:
P 1 = 0,1
P 2 = 0,15
P 3 = 0,20
P 4 = 0,25
A – попадання в мішень.
– Промах.

Завдання на формулу повної ймовірності.

Є 3 урни.
У одній 2 білих і 1 чорна куля
У другій 1 білий і 1 чорна куля.
У третій 3 білих і 2 чорних кулі.
Обирається одна з урн і з неї 1 кулю. Яка ймовірність, що куля чорний?
А – чорна куля. P (A) =?
n = 10 m = 4
Другий спосіб через формулу повної ймовірності.
H 1; H 2; H 3;




Завдання на теорему про повторення дослідів.

Проводять 4 незалежних досвіду. Ймовірність події в кожному з досвіді дорівнює 0,3
Побудувати ряд і багатогранник числа подій.
Введемо Х-число появ подій в результаті проведених дослідів.
X = X 0 = 0

X = X 1 = 1

X = X 2 = 2

X = X 3 = 3

X = X 4 = 4

– Теорема про повторення дослідів.

X 0 1 2 3 4
P 0,0024 0,588



P0, 4 = 1 * 1 * 0,7 4 = 0,0024
P1, 4 = * 0,3 1 * 0,7 3 = 0,588
P2, 4 = * 0,3 2 * 0,7 2 =
P3, 4 = * 0,3 3 * 0,7 1 =
P4, 4 = * 0,3 4 * 0,7 0 =
Завдання на множення ймовірностей.

В урні знаходяться 3 білих і 2 чорних кулі. Виймають по черзі 2 кулі, причому перший назад повертають.
Яка ймовірність що будуть вийняті обидва чорних кулі?

Завдання на множення ймовірностей.

В урні знаходиться 3 білих і 2 чорних кулі. Виймається по 2 кулі.
Знайти ймовірність того, що обидві кулі білі?
А 1 – першу кулю білий.
А 2 – друга куля білий.
А = А 1 А 2


Завдання на не сумісні події.

Мішень складається з 2-х зон, при одному пострілі ймовірність потрапляння в зону 1 = 0,2, в зону 2 = 0,4
Знайти ймовірність промаху?
– Попадання.
– Промах.
А = А 1 + А 2; P (A) = P (A 1) + P (A 2)-P (A 1 A 2); P (A 1 A 2) = 0


Завдання на схему випадків

В урні 3 білих і 4 чорних кулі. Яка ймовірність вилучення з урни трьох чорних куль?
n – загальне число можливих випадків вилучення 3 куль з урни.
m – число сприятливих випадків. (Всі три кулі чорні)

,

Виконання вправ з підручника

№ 30.1( усно)

Ні .

№ 30.3 ( усно)

1)0; 2) 1.

№ 30. 5 ( усно)

0

№ 30.6

Якщо частота події В виявилася більшою за частоту події С, то можна припустити, що подія В більш ймовірна, ніж подія С. Проте висновок, зроблений на основі окремих спостережень ( експеримент проведено 50 разів), не може гарантувати, що подія В більш ймовірна, ніж подія С.

1) Всього учнів-816, з такими балами в Голосіївському районі 126, тому

Р(А)= 126: 816 ·100%=15,4%

2) Р(А)= (160+86):961·100%= 25,6%

3) Р(А)= 70:351·100%= 19,9%

4) Р(А) = 941: 9788·100% = 9,6%

5) Р(А) = (5736+1165+351):9788 100% = 74%

№ 30.10

Всього хворіло на грип 12,3 % ·80 000: 100%= 98 40 жителів.

Р(А) = 2245:9840·100%= 22,8%

№ 30.12

Р(А)= кількість хлопчиків : кількість учнів класу · 100%.

№ 30.15

1) Р(А) = b / ( a+b+c)

2) P(A) = a / ( a+b+c)

3) P(A) = ( a +b) / ( a+b+c)

№ 30.17

Ймовірність того, що першою виберуть серед парних цифру 2 – , ймовірність того, що серед непарних виберуть цифру 7 – . Ймовірність того, що цифри утворять число 27 буде: Р(А) = · = .

№ 30.18

Р(А) = · · =

№ 30.20

Р(А) = · · · =

№ 30. 21

Перший зошит можна вибрати 5 способами, другий – 4. Використовуючи комбінаторне правило добутку, маємо , що два зошити в клітку можна вибрати

n= 5·4 рівноможливими способами. Обчислимо, скільки серед цих способів таких, коли обидва взяті зошити в клітку m = 12 · 11.

Отже, ймовірність того,що навмання взяті 2 зошити будуть в клітку:

Р(А) = =

№ 30.22

Р(А) = =

№ 30.23

Р(А) =

№ 30.25

Нехай у шухляді х – олівців, (х + 12) – ручок. Їх разом х+х+12= 2х+12.

1) = , звідки х = 18;

2) = , звідки х = 3.

Домашнє завдання

 

Вчити § 30

№ 30.2, 30.4 – усно

№ 30. 9°

1) ;

2) =;

3) .

№ 30. 11°

Учень спізнився до школи 175: 20% ·100% = 35 днів. З них отримав негативних оцінок 35· 40% : 100% = 14 днів.

№ 30.14°

1) Р(А) = ;

2) парних чисел від 1 до 17 є 8, тому Р(А) = ;

3) кратних 3 чисел є 5, тому Р(А) = ;

4) не кратних 5 є чисел – 14, тому Р(А) = ;

5) двоцифрових чисел є 8, тому Р(А) = ;

6) простих чисел є 7, тому Р(А) = .

№ 30. 16°

1) Р(А) = ;

2) P(A) = ;

3) P(A) = .

№ 30.19°

Р(А) = · · · =

№ 30.24°°

Ймовірність того, що яблуко буде жовтого кольору Р(А) = = .

Ймовірність того, що яблуко буде червоного кольору Р(В) = = .

Ймовірність того, що яблуко буде одного кольору Р(С) = Р(А) + Р(В) = .

№ 30. 26°°

Нехай в комплекті х – куль, тоді червоних серед них – (х – 12).

1) = , звідки х = 28, а червоних куль 28 – 12 = 26 штук.;

2) = , х = 20, а червоних куль 20 – 12 = 8 штук.


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 6 (56.3 KiB, Завантажень: 78)

завантаження...
WordPress: 22.85MB | MySQL:26 | 0,326sec