Вступ до теорії ймовірності та комбінаторики

Урок 1

Тема : вступ до теорії ймовірності та комбінаторики
Тип уроку
: вивчення нового матеріалу.
Мета:
створити умови для усвідомлення і осмислення блоку нової навчальної інформації.
ЗАВДАННЯ:
Сприяти запам’ятовування основної термінології, вмінню встановлювати події ймовірності та обчислювати перестановки та розміщення;
• Сприяти розвитку інтересу до математики; умінь застосовувати новий матеріал на практиці і в житті
• Сприяти вихованню акуратності
;
НОВІ ПОНЯТТЯ:
достовірні події, випадкові
ОБЛАДНАННЯ: дошка, презентація

ПЛАН УРОКУ:
1. Орг.момент – 1 хв.
2. Актуалізація – 5 хв.
3. Мотивація – 2 хв.
4. Пояснення нового матеріалу – 5 хв.
5. Первинне осмислення і закріплення – 15 хв.
6. Рішення завдань – 10 хв.
7. Підведення підсумків – 2 хв.
Хід уроку:
1. Вступне слово вчителя.
Ви, напевно, не раз чули або самі говорили “це можливо”, “це не можливо”, це обов’язково статися “,” це малоймовірно ”
Такі висловлювання зазвичай вживають, коли говорять про можливість настання події, яка в одних і тих же умовах може статися, а може і не відбутися
Випадок, випадковість – з ними ми зустрічаємося повсякденно: випадкова зустріч, випадкова поломка, випадкова помилка. Цей ряд можна продовжувати до нескінченності. Здавалося б, тут немає місця для математики – які вже закони в царстві Випадку! Але й тут наука виявила цікаві закономірності – вони дозволяють людині впевнено почувати себе при зустрічі з випадковими подіями

Слово “подія” в побуті застосовують до значних явищ (день народження, іспит, весілля), а в математиці – до всіх можливих наслідків ситуації, що розглядається наприклад при кидання гральної кістки подія-це випадання тієї або іншої грані.
2. Вивчення нового матеріалу.
а) Ймовірність.
Події будемо позначати великими літерами латинським А, В, С. ймовірність довільної події (Х) будемо позначати через Р (Х).
Події, які за даних умов обов’язково відбуваються, називають достовірними (зміна дня і ночі) події, які за даних умов не можуть відбутися, називають неможливими події, які за даних умов іноді відбуваються, а іноді не відбуваються, називаються можливими або випадковими. Події, можливості настання яких однакові називаються рівноможливими або рівноімовірними (підкидання монети)
Які з наступних подій – випадкові, достовірні, неможливі:

• черепаха навчитися говорить;
• вода в чайнику, що стоїть на гарячій плиті закипить;
• ваш день народження – 19 жовтня
• день народження вашого друга – 30 лютого;
• ви виграєте беручи участь у лотереї;
• ви не виграєте, беручи участь у безпрограшній лотереї;
• ви програєте партію в шахи;
• на наступному тижні може зіпсуватися погода;
• ви натиснули на дзвінок, а він не задзвонив;
• після четверга буде п’ятниця;
• після п’ятниці буде неділя.
Для кожного з перерахованих подій визначте, яке воно: достовірне, можливе, неможливе
• влітку у школярів будуть канікули;
• 1 липня в Хмельницьку буде сонячно;
• після уроків чергові приберуть кабінет;
• в 11-му класі школярі не будуть вивчати алгебру;
• взимку випадає сніг;
• при включенні світла, лампочка перегорить;
• ви виходите на вулицю, а на зустріч вам йде слон

Придумайте і запишіть в зошит 10 подій, щоб вони відповідали знакам в таблиці наприклад, подія 8 повинна бути достовірною.

подія 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Достовірна              
можлива            
неможлива              

ВПЕРШЕ ймовірності випадкових подій В іграх вирахували в XVII в. французькі математики Блез Паскаль і П’єр Ферма. Вони підрахували число шансів події із загального можливого числа рівноможливих результатів. Давайте прослідкуємо за їх міркуваннями.
Результат випробування, досліду або гри, що виражається у події А, назвемо шансом події А. Наприклад, при киданні гральної кістки можливо 6 рівноможливих результатів А1, А2, А3, А4, А5, А6. – Випадання 1,2,3,4,5,6. Нехай подія А (випадання парного числа очок – 2, 4,6) в цьому випадку Р (А) =

тобто Р (А) = кількість шансів події А/загальна кількість рівноможливих результатів, таке визначення називається класичним визначенням ймовірності.

Якщо при будь-яких умовах є m рівно можливих результатів і з них m призводять до події А, то ймовірність події А дорівнює відношенню m до n

 


Приклад 1: Добре перетасуємо колоду карт випадково виймемо 1 карту. Подія А (витягнута карта червоної масті) і В (витягнуть туз) з 36 випадків є відповідно 9 і 4 шансів. Тому Р (А) = Р (В) =
Приклад 2: На іспиті -24 квитки. Андрій не розібрався в одному квитку і дуже боїться його витягнути. Яка ймовірність, що Андрію дістанеться нещасливий квиток?

А – дістанеться нещасливий квиток: Результатів -24; Шанси = 1, тоді Р (А) =
Приклад 3: В лотереї 10 виграшних квитків і 240 квитків без виграшу. Яка ймовірність виграти в цю лотерею, купивши один квиток?
А – виграти: Результатів всього 240 +10 = 250; Шанси = 10; Р (А) =
Приклад 4: У лотереї 100 квитків, з них 5 виграшних. Яка ймовірність програшу?
А – програти: результатів – 100; Шанс = 100-5 = 95, тоді Р (А) =
Приклад 5:
У ящику лежать 8 червоних, 2 синіх, 20 зелених олівців. Ви навмання виймаєте олівець. Яка ймовірність того, що це червоний олівець? жовтий олівець? Не зелений олівець? Яка кількість олівців потрібно витягнути, щоб з ймовірністю, яка дорівнює 1, серед них був зелений олівець?

А – витягнуть червоний олівець: Результатів 20 +8 +2 = 30; Шансів 8; Р (А) =
В – жовтий олівець: Результатів – 30; Шансів 0; Р (В) = 0
С – не зелений олівець: Шансів 30; результатів 30-20 = 10; Р (С) =
б) Комбінаторика.
А тепер давайте згадаємо знамениту байку Крилова “Квартет” “пастуха Мартишку, Осла, Козла і клишоногого Мішку” влаштували цікавий експеримент: вони досліджували вплив взаємного розташування на якість виконання. І якби не втрутився Соловей, учасники квартету, напевно, перепробували б усі можливі варіанти. Поставимо запитання: скільки існує способів, щоб розсадити, наприклад в один ряд, чотирьох музикантів?
Ще одна ситуація: нас запрошують на якийсь конкурс з 8 учасниками. Одночасно проводитися вікторина: потрібно вгадати, хто займе в конкурсі 1,2,3 місце. Скільки всього існує варіантів?

Спільне в цих двох завдань те, що їх вирішенням займається окрема область математики, названа комбінаторикою. Особлива прикмета комбінаторних завдань – питання, яке завжди можна сформулювати так, щоб він починався зі слів “Скількома способами?
Давайте розглянемо першу задачу:
Давайте розставимо наших учасників квартету в ряд, таке впорядковане положення назвемо перестановкою. Спробуємо відповісти на питання скільки всього можливих перестановок? Число перестановок позначимо Рп, де п – кількість об’єктів (в нашому випадку це буде 4) спочатку візьмемо п = 1 (Мавпу) – є 1 спосіб
П = 2 (Мавпа, Осел) – є 2 перестановки Р2 = Р1 * 2 = 1 * 2, додамо тепер Козла, до кожної з перестановок двох об’єктів можна прилаштувати третій, трьома різними способами: спереду, ззаду, посередині звідси Р3 = Р2 * 3 = 2 * 3 = 6, і додамо нашого клишоногого Мишка Р4 = Р3 * 4 = 1 * 2 * 3 * 4 = 24. Значить способів “всістися чинно в ряд” існує 24. Давайте запишемо загальну формулу: Рп = 1 * 2 * 3 * 4 … .* п = п! знаком оклику (в математиці він називається факторіал) прийнято позначати ряд всіх натуральних чисел від 1 до п, ми не просто вивили формулу, але одночасно вказали спосіб, як отримати всі можливі перестановки. Треба відзначити, що цей спосіб далеко не єдиний. 0! = 1

Давайте спробуємо вирішити задачу про учасниць.
Нам в цьому завданні потрібно відібрати з наявних об’єктів n = 8, довільне m = 3 штук (m <= n) і розташувати їх в деякому порядку. Кожне таке впорядковане розташування називається розміщенням. Скільки існує розміщень при заданих n, m. Відповідь на це питання ми дамо базуючись на знання перестановок (задача про квартет)
Позначимо шукане число Аnm. Спочатку візьмемо будь-яку перестановку всіх n (8) об’єктів і розглянемо перші m (3) з них. Вони утворюють розміщення m (3) об’єктів з n (8) наявних, тоді як останні
n-m(8-3=5) об’єктів можуть бути переставлені Р5 способами. Значить кожному способу можна “пришити” Р5, що породжує стільки ж перестановок всіх n об’єктів Рn= Аnm* Рn-m звідси =виходить =
3.Закріплення матеріалу.

Розв’язування задач
1.У нас є 9 різних книг із серії “Цікава математика”. Скількома способами можна:
• Розставити їх на полиці.
• Подарувати три з них переможцям шкільної олімпіади, які зайняли перші три місця.
Розв’язання.
Р9 = 9! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 = 362 880,


2.Сколькома способами 5 людей можуть стати в чергу до квиткової каси.


3.В чемпіонаті України з футболу беруть участь 16 команд. Скількома способами можуть розподілитися три призові місця.

№ 28.1

3 · 4=12

№ 28.3

1)Приголосних – 3, голосних – 2

2 · 3=6

2)Приголосних різних – 3, голосних різних – 3

3 · 3=9

№ 28.5

З міста А до міста В можна проїхати : 3·2+4·3=6+12=18.

№ 28.8

5!=5·4·3·2=120

№ 28.10

64=36·36 = 1296

№ 28.15

24 = 16.

№ 28.24

4·3·2 +5·2 +6·4=24+10+24=58

№ 28.26

4+42+43+44+45 =4+16+64+256+4096=4436

Домашнє завдання

Вчити §28

№ 28.2°

3·6·5=180

№ 28.25°°

57 + 4·56


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 1 (41.5 KiB, Завантажень: 87)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 1 (41.5 KiB, Завантажень: 32)

завантаження...
WordPress: 22.95MB | MySQL:26 | 0,704sec