ВЕКТОРНИЙ ПРОСТІР. ПРИКЛАДИ І НАЙПРОСТІШІ ВЛАСТИВОСТІ ВЕКТОРНОГО ПРОСТОРУ. ПІДПРОСТІР

Озн. Непорожня множина L наз. лінійним або векторним простором на числовим полем Р, якщо в множині L визн. операції додавання і множення на скаляр, причому виконуються такі властивості:

  1. Операція + комутативна;
  2. Операція + асоціативна;
  3. в множині L нейтральний елемент відносно операції додоавання;
  4. для кожного елемента з множини L в L симетричний елемент

  5. 1х=х

  6. .

    Приклади: 1. Нехай Р=С, L=С (система компл. чисел).Враховуючи властив. поля компл. чисел легко переконатись, що мн. L при цьому буде векторним простором, його наз. компл. векторним простором компл. чисел.

    2. Нехай Р=R, L=С. Множина компл. чисел над полем дійсних чисел утв. Вект. Простір над дійсним векторним простором компл. чисел.

    3. P=R, L=R— дійсна множина векторного простору дійсних чисел,

    4. P=R, L=Rn. Введемо в множину L операції + і * на скаляр.
    , .

    Ми показали, що множина L із так введеними операціями утв. дійсний векторний простір. Його наз. n — вимірним векторним простором..

    Озн. Непорожня підмножина мн. L векторного простору L наз. підпростором простору L , якщо вона сама є векторним простором відносно операцій означених в просторі.

    Приклад: Дійсний векторний простір дійсних чисел є лінійним підпростором дійсного векторного простору компл. чисел.

    Теор. Для того, щоб підмножина була підпростором, достатньо, щоб вона була замкнута відносно + і * вектора на скаляр, тобто:


    Дов.: Нехай деяка непорожня підмножина L векторного просторуL замкнута відносно операцій + і * вектора на скаляр. Покажемо, що виконуються умови 1-8 з означення векторного простору. Нехай , тоді , покажемо, що. Якщо , а , то , включається в L, тоді В множині L опервція + комутативна, тоді ю Що й треба було показати. Асоціативність дов. аналогічно.

    Покажемо, що нейтральний елемент . З другої властивості одержуємо . Аналогічно .


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Vektornyj Prostir (63.5 KiB, Завантажень: 2)

завантаження...
WordPress: 22.84MB | MySQL:26 | 0,366sec