Теорія збурень

Зміст

1. Квантова механіка

1.1 Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера

1.2 Теорія збурень вироджених рівнів

1.3 Залежне від часу збурення

1.3.1 Монохроматичне збудження

2. Список використаної літератури

Квантова механіка

Теорія збурень — метод розв’язку математичних задач, що базується на відомому розв’язку й розглядає відхилення від цього розв’язку пропорційними певному малому параметру.

Метод збурень є одним із основних методів знаходження розв’язків квантово-механічних рівнянь руху, зокрема рівняння Шредінгера. Розрізняють метод збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера й метод збурень для часового рівняння Шредінгера в тому випадку, коли збурення залежить від часу.

Теорія збурень для стаціонарного рівняння Шредінгера

Теорія збурень застосовується тоді, коли потрібно знайти власні числа й власні функції гамільтоніана

,

де H0 — гамільтоніан із відомим спектром, λ — малий параметр,  — оператор збурення.

Для хвильових функції n-го стану незбуреного гамільтоніана та енергії стану справедливе співвідношення


Для знаходження розв’язку проводиться розклад хвильової функції в ряд Тейлора щодо малого параметру

.

Власні функції незбуреного гамільтоніана складають ортонормований базис, тому будь-яку хвильову функцію можна подати у вигляді

.

Таким чином, розклад в ряд Тейлора хвильової функції аналогічний розкладу коефіцієнтів cn:


Аналогічним чином розкладається в ряд Тейлора енергія власного стану

.


У першому наближенні теорії збурень (коли враховуються лише лінійні по λ члени) енергія n-го стану отримує приріст

.

Зміна хвильової фунції визначається формулою

,

де – власні значення незбуреного гамільтоніану , а



Ця зміна ортогональна початковій хвильовій функції .


У другому наближенні теорії збурень враховуються члени, пропорційні λ2.

.



Очевидно, що поправка до енергії залишатиметься малою лише при умові, коли . Тобто, теорія збурень в поданому вигляді справедлива лише для систем і станів, енергії яких не невироджені й не близькі між собою. Для систем із близькими рівнями енергій і вироджених систем формули теорії збурень змінюються.

Теорія збурень вироджених рівнів

Збурення зазвичай призводить до зняття виродження. Стани, які в незбуреному стані мали однакову енергію, при врахуванні збурення отримують різне значення енергії.

У випадку виродження існують власних функцій незбуреного гамільтоніана , що відповідають енергії

.

Будь-яка лінійна комбінація цих функцій теж є власною функцією незбуреного гамільтоніана. Шукаючи розв’язок збуреної задачі у виляді


де anα – невизначені коефіцієнти, отримуємо в першому наближенні по малому параметру λ систему рівнянь на власні значення енергії

.

Відхилення отриманих значень енергії від положення n-го рівня незбуреної задачі пропорційне малому параметру. Визначаючи власні значення енергії можна одночасно знайти коефіцієнти anα, які визначають хвильові функції збурених станів.

У залежності від типу збурення зняття виродження може бути неповним.

Залежне від часу збурення

Якщо збурення залежить від часу потрібно розв’язувати нестаціонарне рівняння Шредінгера

.

Функцію ψ(t) можна представити у вигляді розкладу по ортонормованій системі власних функцій гамільтоніана незбуреної задачі

.

Залежні від часу коефіцієнти розкладу cn(t) повинні задовольняти систему рівнянь

.

де , а . Ця система рівнянь

повністю еквівалентна рівнянню Шредінгера. Вважаючи λ малим параметром, розв’язок можна шукати у вигляді розкладу

.

Збираючи члени з однаковими степенями щодо λ, можна отримати ланцюжок рівняннь для наближених розв’язків




тощо.

В нульовому наближенні теорії збурень хвильова функція не змінюється. Припускаючи, що до збурення система знаходилася в одному з стаціонарних станів s, .

В першому наближенні теорії збурень

.

Таким чином, ймовірність того, що квантова система під дією збурення перейде із стану s в стан n задається формулою


Монохроматичне збудження

Якщо збудження монохроматичне, тобто його можна представити у вигляді

,

то інтегрування можна виконати й отримати


Ймовірність переходу системи зі стану s в стан n має полюси при . При частотах зовнішнього збудження, які не співпадають з різницями енергій квантових станів, поділених на сталу Планка, ця ймовірність мала величина, що осцилює з часом. При співпадінні виникає явище резонансу і ймовірність переходу значно зростає.

При ωns > 0 другим членом можна знехнувати, і тоді

.

При залежний від часу множник переходить у дельта-функцію Дірака, а ймовірність переходу за одиницю часу задається золотим правилом Фермі


Список використаної літератури

  1. Юхновський І.Р. Основи квантової механіки, 2002, Київ: Либідь.
  2. Федорченко А.М. Теоретична фізика. Квантова механіка, термодинаміка і

    статистична фізика. Т.2., 1993, Київ: Вища школа., 415 с.

Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теоретическая физика. т. ІІІ. Квантовая механика. Нерелятивистская теория., 1974, Москва: Наука..

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Теорія збурень (71.8 KiB, Завантажень: 1)

завантаження...
WordPress: 22.88MB | MySQL:26 | 0,335sec