ТЕОРІЯ ПЛОЩИН У ПРОСТОРІ (АНАЛІТИЧНИЙ ВИКЛАД)

Нехай в просторі задана загальна система координат x, y, z – змінних.

О. Рівнянням від трьох змінних x, y, z наз. рівняння f(x, y, z)=0. F(x, y, z)=0- деякий аналітичний вираз, що одночасно не перетворюється в 0 при всіх значеннях змінних x, y, z . Якщо ж рівність (1) f(x, y, z)=0 справджується при всіх змінних, то вона наз. тотожністю.

О. Поверхнею наз. ГМТ простору, координати яких в деякій системі координат задов. рівняння (1). Найпростіші із поверхонь є площини. Розглянемо можливі задання площин.

а) Нехай задано т. і два не колінеарні вектори а і b ║δ, тоді т.і визначають площину в просторі. Нехай точка М має такі координати , , . В такому разі трьома числами характеризується площина в просторі. Точка М – початкова точка площини, а і b – напрямні вектори.

б) Нехай δ задана трьома точками , ,. Площина задана дев’ятьма числами.

в) Площина може задаватись також трьома точками, розташованими в системі координат .

Т. В загальній декартові системі координат площину записують рівнянням першого степеня, виду ax+by+cz+d=0.

Дов.: Зафіксуємо на площині σ довільну точку та виберемо на ній два не колінеарні вектори і . , , . Нехай довільна точка М площини σ має координати . , , – ці вектори є компланарними. Маємо визначник: =0 (2)
, Покажемо, що А=В=С≠0. Ці числа будуть пропорційні, а це неможливо.

Т. Довільне рівняння першого степеня в загальній Декартові системі координат задає рівняння площини.

Часткові випадки розташування площин.

Д=0 – площина проходить через точку О(0;0).

С=0. Тоді нормальний вектор n(А,В,0) він перпендикулярний до OZ. Площина σ ║OZ.

В=0σ ║OY. 4)А=0σ ║ОХ. 5) Д=С=0площина проходить через вісь OZ. 6) Д=В=0 σ ║ZOY. 8) А=В=0σ ║ХOY. 9) В=С=Д=0σ ║YОZ. 10) A=C=D=0σ =ХOZ. 11) А=В=С=0 – це неможливо.

Рівняння площини, що проходить через три точки.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Teoriya Ploschyn (179.0 KiB, Завантажень: 1)

Сторінка: 1 2
завантаження...
WordPress: 22.8MB | MySQL:26 | 0,504sec