Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Урок 10-11

Тема уроку.
Теореми про похідну суми, добутку і частки функцій

Мета уроку.
Вивчення теореми про похідні суми, добутку і частки функцій, формування умінь учнів у знаходження похідних;навчити учнів застосовувати правила знаходження похідних для розв’язування вправ;повторити таблицю похідних ; формувати культуру запису та графічну культуру; розвивати вміння працювати в групах.

Методи і прийоми навчання. Фронтальне опитування, робота в групах.

Хід уроку

I.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II.Актуалізація опорних знань

1. Перевірка домашнього завдання

1. Усне розв’язування вправ.

1) Знайдіть похідні функцій

а) у = х10;            б) ;            в) ;        г) .

Відповідь: а) 10х9;            б) -9х-10;        в) -4х-5;        г) 3х2.

2) Знайдіть похідні функцій:

а) в точці ;    б) в точці ;

в) в точці ;    г) в точці .

Відповідь: а) 0;    б) ;    в) 4;    г) -1.

2. Відповісти на запитання, що виникли у учнів під час виконання домашніх вправ.

ІІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну суми функції

Теорема: Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхня сума диференційована в цій точці і


або коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

Доведення

Розглянемо функцію у = f(x) + g(x).

Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту . Тоді


,

.

Отже, .

Наслідки

а)     Похідна різниці дорівнює різниці похідних.

Нехай у(х) = f(x) – g(x), тоді f(x) = у(х) + g(x) і , звідси.

б)    Похідна суми декількох функцій дорівнює сумі похідних цих фукцій, тобто

.

Приклад. Знайдіть похідну функцій

а) ;

б) ;

в) .

Розв’язання а) ;

б) .

в).

Відповідь: а) ;    б)     в) =.

Виконати самостійно:

1.    Знайдіть похідні функцій:

а) у = х3 + х – х4;                        б)
;

в)
;                        г)
.

Відповідь: а);    б);    в) ;

г) .

2.    Знайдіть значення похідної функції f(x) в точці х0:

а)
;

б) ;

в) .

Відповідь: а) 1;    б) ;    в)-1.

3.    При яких значеннях х значення похідної функції f(x) дорівнює 0:

а);    б)
;    в)
.

Відповідь: а) ;    б) ;        в) .

ІV. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну добутку

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х, то їхній добуток також – диференційована функція в цій точці і , або коротко говорять: похідна добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної функції на похідну другої функції

Доведення. Розглянемо функцію . Зафіксуємо х0 і надамо аргументу приросту , тоді

1)    

Оскільки , , то


.

2)


.

Отже, .

Наслідки

а)    Постійний множник можна винести за знак похідної: .

Дійсно,.

б)    Похідна добутку декількох множників дорівнює сумі добутків похідної кожного із них на всі останні, наприклад:

.

Приклад.    Знайдіть похідні функцій:

а)    ;

б)    ;

в)    .

Розв’язування

а)    ;

б)

;

в)


.

V. Робота в групах.

Учні працюють в групах і презентують результати своєї роботи.

1. Знайдіть похідну функцій:

а)    ;        б)    ;

в)    ;    г)    .

Відповідь:    а)    6х-5;        б)    ;

в)    ;            г)    .

2. Знайдіть похідні функцій:

а)    ;            б)    ;

в)    ;                г)    .

Відповідь:    а)    ;        б)    ;

в)    ;    г)    .

3. Знайдіть похідні функцій:

а)    ;    б)    .

Відповідь:    а)    ; б)    .

VІІ. Сприймання і усвідомлення теореми про похідну частки функцій

Теорема. Якщо функції f(x) і g(x) диференційовані в точці х і g(x), то функція диференційована в цій точці і .

Доведення

Формулу похідної частки можна вивести, скориставшись означенням похідної. Проте це зробити можна простіше.

Нехай , тоді f(x)=у(х). Знайдемо похідну функції f(x), скориставшись теоремою про похідну добутку, . Виразимо з цієї формули

і підставимо замість у(х) значення , тоді будемо мати:

.

Отже, .

Приклад: Знайдіть похідні функцій

а)    ;                            б)    .

Розв’язання

а)    .

б)    .

№ 8.5. 2) y =



= = =

==

 

  1. y=

    =

    =

    VІІІ. Робота в групах.

    Учні працюють в групах і презентують результати своєї роботи.

    1. Знайдіть похідні функцій:

    а)    ;        б)    ;        в)    ;            г)    .

    Відповідь:    а)    ;                    б)    ;

    в)    ;                    г)    .

    2. Знайдіть похідні функцій:

    а)    ;            б)    ;            в)    ;            г)    

    Відповідь:    а)    ;                б)    ;

    в)    ;            г)    .

    ІХ. Підсумок уроку.

    Скласти «корисну пораду» : як потрібно використовувати правила знаходження похідних.

    Х. Завдання додому

    п. 8 теореми 8.1 – 8.3 ( доведення)

    № 8.6 (4,5,6) № 8.8 (2,4)

     


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 10 (259.1 KiB, Завантажень: 76)

завантаження...
WordPress: 22.96MB | MySQL:26 | 0,643sec