ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЄРШТРАСА. КРИТЕРІЙ КОШІ ЗБІЖНОЇ ЧИСЛОВОЇ ПОСЛІДОВНОСТІ

Теорема (Больцано-Вейєрштраса). Із всякої обмеж. послідовності можна вибрати збіжну підпослідовність.

Дов. – обмежена зверх. і знизу. Отже, тоді
, тоді або містить багато членів послід. . Позначимо цей сегмент через . поділимо пополам тоді Містить неск. багато членів посл. . Позначимо цей сегмент через і так далі. Одержимо вкладену стяжну с-му сегментів (стяжна, тобто)

За теор. Кантора:
,. Отже, в сегменті є нескінченно багато членів : в сегмент може міститися багато

З того, що утвор. зрост. послід. N2, то – під послід.

Візьмемо при ; ;

Озн. послід. наз. фундаментальною , якщо , або якщо

Теор.2 (Кр.Коші). Для того, щоб послідовність була збіжною необхідно і досить, щоб вона була фундаментальною.

Д:
-збіж.


, тобто – фундаментальна.

Достатність. – фундаментальна нехай , тоді .

Нехай , а модуль різниці > від різниці модулів

, тобто -обм. (за теор. Больц.-Веєрш.). За Озн. – фундаментальна, то .

тобто – збіжна.Т. доведена.

Озн. числова послідовність наз. збіжною, якщо вона має границю.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Teorema Bolcano-Vejerschtrasa (125.0 KiB, Завантажень: 0)

завантаження...
WordPress: 22.78MB | MySQL:26 | 0,401sec