СИСТЕМА ТА АКСІОМИ ВЕЙЛЯ, ТРЬОХ ТА БАГАТОВИМІРНИОГО АФІННИХ ТА ЕВКЛІДОВИХ ПРОСТОРІВ

Ця сис. акс. загальними математичними множинамидійсних чисел, двома множинами геометричних об’єктів, лементи однієї з них наз. «точками», а елементи 2-ї — векторами і чотирма відношеннями між ними: 1. сума векторів; 2. добуток вектора і числа; 3. скалярний добуток двох векторів; 4. відкладання вектора від точки.

Кожне з цих відношень використовується для утв. однієї з груп акс.

І гр. (акс. додавання век.) на множині всіх век. відношення між ними, яке у відповідність кожним двом векторам ставить єдиний 3-й век., який наз. їх сумою, а саме відношення наз. додаванням век.


І 1. (переставний закон)

І 2.

І 3. (нуль-век)

І 4. (протилежний век)

ІІ гр. Акс. век. і числа.

Між елементами множини і множиною век. у відповідність кожному числу і кожному вектору ставиться єдиний век.

ІІ 1.

ІІ 2. (сполучна вл)

ІІ 3. (розподільна)

ІІ 4.

ІІІ гр. (акс. розмірності простору)

Якщо – дані век., – скаляри, то сис. цих век. лінійнонезалежна, якщо має місце тоді і тільки тоді коли , якщо це співідношення має міце тоді коли хоч одне з , тоді сис наз. лінійно залежна.

ІІІ 1. лінійнонезалежних векторів

ІІІ 2. лінійнозалежних век.

IV гр. Акс. скалярного добутку

На множині всіх век. , яке у відпвідність кожним двом век. ставить один скаляр. Це відношення наз. скалярним множенням век.


IV 1.

IV 2.

IV 3.

IV 4. , то , а якщо , то

V гр. (Акс відкладання векю від точки)

Будемо вважати, таке відношення , яке увідповідність кожним двом впорядкованим точкам чтавить і до того ж єдиний век. , тобто

V 1.

V 2.

Т. Сис. акс. Вейля не суперечлива, якщо не суперечлива арифметика.

О1. Точкою наз. трійку дійсних впорядкованих чисел

позначимо символом . Числа будемо наз. коорд.

О2. Якщо задано , , то за їх суму приймемо век. .

О3. За скалярний добуток приймають число , :

О4. Якщо задано т. і век. , то під відкладенням вектора від т. будемо розуміти знаходження такого відношення , що век. буде , – нуль-век., протилежний до .

О5. Век. наз. трійку дійсних впорядкованих чисел і позначається .

О6. За добуток приймемо

ІІ 2. . Нехай , за озн. 6 маємо
.

V 2. Нехай маємо т. , , . За озн. 2: , тобто . Аналогічно доводяться інші аксіоми.

О. Нехай — век. простір і -вимірний над полем дійсних чисел, а – не порожня множина, елементи якого наз. точками множини наз. -вимірним афінним простором, над век. -вимірного простору, якщо виконуються такі акс.:

1) для кожної т. одна і тільки одна т. , .

2) для виконеується рівність .

Афінний простір над векторним простором наз. Евклідовим -вимірним простором, якщо — евклідовий -вимірний простір.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Systemy I Aksiomy Vejela- (219.0 KiB, Завантажень: 2)

завантаження...
WordPress: 22.92MB | MySQL:26 | 0,328sec