Симетричні рівняння

Симетричними рівняннями називаються рівняння, в яких коефіцієнти, рівновіддалені від кінців многочлена, рівні.

Розглянемо одне з таких рівнянь:


Очевидно, що . Поділимо обидві частини рівняння на . Маємо:


Нехай . Тоді, тобто , звідки .

Отже .

Розв`язавши одержане рівняння, знаходимо значення t , а відтак і розв`язки даного рівняння.

Симетричні системи рівнянь

Означення

Функція називається симетричний якщо значення функції не міняється при будь-якій перестановці аргументів.

Приведемо приклади симетричних функцій:


система рівнянь називається симетричної, якщо всі рівняння системи симетричні. Розглянемо симетричну систему рівнянь.

     (14)

Нехай — корені кубічного рівняння


Отже, якщо складемо кубічне рівняння

    (15)

і знайдемо корені рівняння, те ці корені є значеннями невідомих у системі (14).

Приклад. Знайти рішення системи рівнянь


Складемо кубічне рівняння (15)

.

яке має корені . Отже вихідна система рівнянь має рішення

.

Ці рішення вийде перестановкою невідомих в одному з рішень.

Приклад. Вирішимо систему рівнянь


Зведемо перше рівняння в квадрат


і використовує друге рівняння системи. Одержимо рівність

.

Рівняння (15) прикмет вид


і має рішення: . Вихідна система рівнянь має рішення .

Приклад. Вирішимо симетричну систему рівнянь


Щоб скласти кубічне рівняння (15) досить знайти значення вираження .

Зводимо перше рівняння системи (16) у квадрат.

.

Знаходимо значення вираження: , що помножимо на перше рівняння системи (16).

Одержимо рівність

,

відкіля знаходимо значення вираження

.     (17)

Перемножимо перші і другі рівняння системи (16).

.

За допомогою рівняння (17) знаходимо: .

Тепер можна скласти рівняння (15).

, .

Вихідна система має рішення

.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Симетричні рівняння 4 (48.1 KiB, Завантажень: 0)

завантаження...
WordPress: 22.94MB | MySQL:26 | 0,336sec