СКАЛЯРНИЙ І ВЕКТОРНИЙ ДОБУТОК ДВОХ ВЕКТОРІВ, ЇХ ВЛАСТИВОСТІ ТА ЗАСТОСУВАННЯ

Нехай і ненульові вектори. Якщо розмістити ці вектори на прямих паралельних до кожного з них і задати напрямок, що співпадає з напрямком векторів, то отримаєм дві напрямлені прямі, які в загальному випадку не перетнуться.

О. Кутом між напрямленими прямими назвемо менший з двох кутів, які вони утворюють.

О. Під кутом між 2-ма векторами будемо розуміти кут між напрямленими прямими .

О. Число будемо називати скалярним добутком векторів , якщо воно . Якщо скал добуток =0, то ці вектори перпендикулярні або один з них 0-вектор.


Т. Скалярний добуток двох векторів, заданих своїми координатами відносно ортонормованої бази = сумі добутків відповідних координат цих векторів: (1).

Д. Нехай – не колінеарні і не нульові. Виберемо точку О і відкладемо вектори . Розглянемо . За теоремою косинусів:


або

(2)

; , , тоді . Підставимо одержані рез-ти в (2), маємо: . Теорему доведено.

Т. Для довільного дійсного і дов векторів мають місце співвідношення:

1) — комутативність

2) — сполучна

3) — розподільна

Д. 1)

2) =
. Т. д.

Скалярний добуток застосов. для виявлення ортогональних прямих в евклідовому просторі.

О. Векторний добуток в-ра на називається вектор , такий що задовільняє умовам:

1) ;

2) і ;

3) утворюють праву трійку. Позначабть век доб .

Т.1.(Геом власт векторного добутку) Векторний добуток двох не нульових векторів =0 тоді і тільки тоді, коли ці вектори колінеарні.

Д. 1) і – колінеарні. Можливі випадки: =0 і =180. В обох випадках sin цих кутів =0. Тому =0 Отже, век доб цих векторів =0.

2) Нехай век доб цих векторів =0. Тоді =0. Це можливо тоді, коли sin=0. Тому =0 або 180. Звідки і колінеарні.

Т2. Якщо вектори і зведені до спільного початку, то модуль векторного добутку = площі паралелограма побудованого на цих векторах, як на сторонах (геом зміст).

Справедливість теореми випливає з формули .

Алгебраїчні властивості

Антикомутативна: =.

Сполучна відносно скалярного множника , .

Дистрибутивна властивість відносно відносно


Т. Якщо і задані своїми координатами то відносно базису

=

Д.



Т.д.

Застосування. : у фізиці — механічна робота, магнітний потік. : момент сили, тангенціальна та кутова поверхні.

О. Мішаним або векторно-скалярним добутком 3 впорядкованих векторів , і наз. Скалярний добуток вектора на вектор .

.

Т. Якщо , , задані своїми координатами , в ортонормованому базисі, то їх мішаний добуток = визначнику 3-го порядку, рядками якого є координати цих векторів.

Д. .

Т. Абсолютна величина мішаного добутку трьох векторів = об’єму паралелепіпеда, побудованого на них, віднесених до спільного початку. При цьому , якщо трійка ,, – права, , якщо трійка ,, – ліва і 0, якщо ,, – компланарні.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Skalarnyj I Vect Dob (261.0 KiB, Завантажень: 1)

завантаження...
WordPress: 23.14MB | MySQL:26 | 0,363sec