Розв’язування задач по темі: «Координати і вектори в просторі»

Урок 10.

Тема. Розв’язування задач по темі: «Координати і вектори в просторі».

Мета:
систематизувати й узагальнити вивчений матеріал, підготувати учнів до

контрольної роботи, повторити теоретичний матеріал, розв’язувати задачі

методом поступового ускладнення; розвивати логічне мислення, пам’ять,

просторове уявлення, усне та писемне мовлення, вміння застосовувати теоретичний матеріал до розв’язування стандартних задач; розвивати інтерес до математики; виховувати відповідальність у колективній роботі

Методи і прийоми навчання:
колективна, індивідуальна форми роботи,

робота в групах, метод «Два-чотири-всі разом» .

Обладнання: креслярські інструменти, картки

Тип уроку: формування вмінь і навичок учнів.

Х і д у р о к у

І. Організаційна частина.

Епіграф уроку:

Кожна задача, що я розв’язував, була правилом, що

слугувало потім для розв’язання інших задач.

Рене Декарт

ІІ. Перевірка домашнього завдання.


Запитую про питання, що виникли під час розв’язання домашнього завдання


(відповісти на можливі запитання)

Задача1

Р о з в ′ я з а н н я.

1) │а│= √а2=22+(-3)2 = 4+9 =13;

с│= √с2=42+(-1)2 = 16+1 =17;

2)
Якщо кут між векторами а і с дорівнює φ, то

cos φ =


a
· b

=

2· 4+

(-3)(-1)

=

8
+

3


=

11




a·b√13·√17 √13·17 √13·17


φ = arccos
11

= 42o




√13·17

3)
Умови задачі задовольняють вектори За і -За, де За = 3(2; -3)
=(6; -9).

4) Нехай d =(х0; y0)с, тоді х0
4 + у0 • (-1)
= 0 або 0 – y0 = 0, тому у0 = 4х0.

Якщо, наприклад, х0 = 1, то y0 = 4; d = (1;4).

5) аd, якщо а•
d= 0, тобто 2• 1 + (-3)• р = 0; 3р = 2; р=
.

6) Вектори b, т — колінеарні, якщо їхні координати пропорційні.

Отже, 3/р = 2/(-2). Звідси р=-3.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.

Розминка:

  • Як знайти відстань від даної точки А(х1; у1; z1) до точки В(х22;z2)?

    (d2 = (х2 – х1)2+(у1 – у2)2+(z1 – z2)2)

  • Як знайти координати середини відрізка АВ, якщо А(х1; у1; z1) і В(х22;z2)?

(х = (х12)/2; у = (у12)/2; z = (z1+z2)/2)

Ток-іртерв’ю (об’єднання учнів у різнорівневі групи)


(колективна форма роботи)


  • Що трапиться з людиною, якщо вона підніматиме непосильний вантаж?
  • Що трапиться з учнем, якщо йому запропонують розв’язувати непосильно важку задачу?

Правильно, якщо учень не вміє розв’язувати простих задач, то він не впорається і з важкою. Сьогодні на уроці ми будемо розв’язувати задачі з теми «Координати і вектори у просторі» в різнорівневих групах (кооперативних групах) «Два—чотири—разом» методом поступового ускладнення з метою систематизувати й узагальнити вивчений матеріал і підготуватися до контрольної роботи.

На столах ксерокопії завдань.

Група «Два» (два учні) — виконують завдання № 1,
2,3
(вони записані й на дошці), у яких треба підкреслити правильну відповідь. Після перевірки приєднуються до групи «Чотири».

Група «Чотири» (два учні основних + група «Два») розв’язують завдання

№ 4, 5, 6. Працюють на переносній дошці.

Група «Разом» (решта учнів + група «Два» + група «Чотири»).

Обирання лідерів груп

Перевіряємо, як опанували мінімальний рівень знань.

Група «Два»
лідер той, хто першим відповість на питання:

«Хто з математиків винайшов метод координат?»

(Ньютон, Гаусс, Декарт)

Група «Чотири».

«Скільки координат має точка у просторі?»

(Одну, дві, три)

Група «Разом».

«Що таке вектор?»

(Напрямлений відрізок, дуга або відстань між точками)

IV. Розв’язування задач

Ксерокопії завдань на столах.

Завдання для групи «Два»

(Правильну відповідь підкреслити.)

1 . Що таке абсолютна величина вектора? (Довжина вектора; координати вектора; сума векторів)

2.    Де розташовані точки:

  • A(0;0;6) (вісь X, вісь У, вісь Z; площина У0Z);
  • B(0; 8;0) (вісь X, вісь У, вісь Z, площина ХОУ);
  • С(0; 8; 6) (вісь X, вісь У, вісь Z; площина У0Z)?

3.    Серед наведених укажіть колінеарні вектори:

а(2;3;4), b(2;3;8), с(2;6;8), d4;6;8).

Завдання для групи «Чотири»

4.    Позначте на рисунку точки: A(0;0;6); B(0;8;0); С(0;8;6); D(3;0;0); E(3;8;0); М(3;0;6);

5. Побудуйте точку С1 , що симетрична точці С відносно площини ХОZ.

6. Укажіть вектор, колінеарний вектору АМ.


Завдання для групи «Разом»

7. Знайдіть за рисунком координати векторів ЕD і EМ.


(ED(0;-8;0), EМ(0;,-8;6))

8. Знайдіть модулі векторів ЕD і ЕМ. (|ED| = 8; |EM| = 10)

9. Знайдіть скалярний добуток векторів ЕD і ЕМ. (ЕD •
EM =0-0+8-8+0-6 = 64)

10. Знайдіть косинус кута між векторами ЕD і ЕМ

(cos φ =
ED ·EM
= 64 = 0,8)


│ED│ ·│EM│ 8 ·10

На основі завдань 7—10 можна легко «прочитати» план-алгоритм розв’язання задачі, у якій треба знайти косинус кута між векторами, якщо є координати точок. Це задачі № 59, 60 (с. 59 підручника).

(Відповідь формулюють учні:

  1. Знайти координати векторів.

2) Знайти модулі векторів

  1. Знайти скалярний добуток векторів.
    1. Поділити скалярний добуток векторів на добуток їх модулів.)

    11. Знайдіть суму векторів ЕD і ЕМ,

    12. Знайдіть значення k, при якому вектори a(2;3;4) і d(4;6;k)


    а)    колінеарні; (k = 8)

    б)    перпендикулярні. (k = -6,5)

    13. Творче завдання. Чи можна довести паралельність прямих? Висловіть ідею.

    (Після заслуховування ідей учні формулюють відповідь: так, якщо соs φ = 1, то φ = 0°, тобто прямі паралельні.)

    III. Розв’язування завдань з використанням рисунка, який отримали після розв’язування вправ № 4-1 1 усно

    Група «Два»

    1 . За рисунком знайдіть косинус кута між векторами ED і EN. (З того, що


    ED
    EN, cos<DEN=0)

    Група «Чотири»

    2. Складіть план-алгоритм розв’язання задач. Знайдіть суму векторів

    2ЕD+З ЕМ, якщо координати точок Е, D,
    М — відомі.

    (1) Знайдіть координати векторів ЕD й ЕМ.

  2. Знайдіть 2ED
  3. Знайдіть ЗЕМ.
  4. Додайте координати векторів 2 ЕD+З ЕМ)


    3. Чому можна стверджувати, що ЕD = NМ (див. рис.)?


    (Оскільки вектори ЕD і однаково напрямлені; модулі векторів рівні, паралельним перенесення точка М суміщається з точкою D, точка N з точкою Е.)

    Група «Разом»

    4. Який рисунок зайвий:


    (На рис. а, б, в вектори колінеарні, рис. г — вектори перпендикулярні, зайвий — г)

    1. Знайдіть рівні вектори.


    (б)

    V. Графічний диктант

    Учням пропонується декілька тверджень, частина з яких — помилкові. У зошитах ставиться знак «^», якщо твердження істинне; знак «—», якщо помилкове.

    1. Якщо точка має координати A(0;0;2), то вона лежить у площині ХОУ.
    1. Модуль вектора — це його довжина.
      1. Рівні вектори мають рівні модулі й однаково напрямлені.
      2. Щоб знайти суму векторів, треба перемножити їх координати.
    2. У колінеарних векторів координати пропорційні.
      1. Якщо ненульові вектори перпендикулярні, то їх скалярний добуток дорівнює 0.

        Ключ до диктанту: — _ ^^_ ^^


        1 23 4 56

      V.    Підсумок уроку.

      1. Як працювалося групам?
      2. Яка група задоволена своєю роботою?
      3. Кому ще треба допрацювати?

      VI.    Домашнє завдання

      1. Повторити § 4, п. 23-28, 35, 36.
        1. За рисунком у зошитах розв’язати вправи № 7—10, якщо дано точки N, Е, С і вектори ЕN і ЕС.

    Підготуватись до контрольної роботи.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 10 (684.5 KiB, Завантажень: 85)

завантаження...
WordPress: 22.9MB | MySQL:26 | 0,341sec