Розв’язування типових задач

Урок № 18 -19

Тема. Розв’язування типових задач

Мета. Узагальнити й систематизувати знання учнів з теми ,, Інтеграл та його

застосування “; провести огляд типових задач із зазначеної теми; розвивати

мислення учнів, стимулювати пізнавальний інтерес

 

Тип уроку: урок – семінар

Обладнання: картки, кодоскоп

Розум полягає не тільки в знаннях,

але й у вмінні застосовувати ці знання..

Аристотель

ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап

Підготовка: на початку вивчення теми учням роздано запитання:

Треба знати:

  1. означення інтеграла;
  2. геометричний зміст первісної ( ознака сталості );
  3. означення невизначеного інтеграла;
  4. правила знаходження первісних ( правила інтегрування );
  5. таблицю первісних;
  6. означення криволінійної трапеції;
  7. обчислення площі криволінійної трапеції за допомогою інтеграла. Формула Ньютона – Лейбніца;
  8. означення визначеного інтеграла;
  9. геометричний зміст визначеного інтеграла;

10. властивості визначеного інтеграла;

11. обчислення площі криволінійної трапеції.

Треба вміти:

Обчислювати площу фігури:

  1. утвореної з криволінійних трапецій, які не перетинаються;
  2. користуючись геометричним змістом визначеного інтеграла;
  3. як різницю площ криволінійних трапецій, які набувають додатних значень;
  4. обмеженої графіком функції f ( x ) < 0 при .

ІІ. Перевірка домашнього завдання

– ,, Математичний сюрприз ”

Розв’язування домашніх задач записані на картках, склавши які, одержимо розв’язки до задач.

ІІІ. Актуалізація й систематизація опорних знань

Первісна

1. Заповніть пропуски в тексті. ( Кожна правильна відповідь – 0,5 бала )

1

Функція ______називається первісною для функції_____ на деякому проміжку, якщо для всіх х із цього проміжку виконується рівність _______________

2

Нехай функція f ( x ) має на деякому проміжку первісну. Сукупність усіх первісних для функції f ( x) на проміжку називають _________________ цієї функції і позначають ______. Функцію ____ називають ____________ .

3

Нехай функція F( x ) є первісною для f ( x) на деякому проміжку. Тоді для довільної _______ функція ________ також є первісною для функції _____.

4.

Нехай функція ____ є первісною для ___ на деякому проміжку. Тоді будь – яка первісна для функції f ( x) на цьому проміжку може бути записана у вигляді __________, де С – деяка стала.

2. Заповнити таблицю первісних ( кожна правильна відповідь оцінюється 0,5 бала )

 

Функція f ( x )

Загальний вигляд первісної F ( x ) + C

1

х + С

х п( п – 1 )

 

 

sin x

 
 

sin x + C

 

 
 

ax

 
 

2

( x 0 )

 

 

ІV. Застосування знань, умінь і навичок

– Розв’язування завдань ( на дошці )

1. Знайдіть первісну функції f ( x ) = на проміжку , яка задовольняє умову F ( x ) = 2.

Розв’язання.

Оскільки x > 0, то f ( x ) = . Загальний вигляд первісної , ; С = – 4; .

Відповідь : .

2. З усіх первісних для функції f ( x ) = 3х2 -5х +4 знайдіть ті, графік яких дотикається до прямої у = 2х –.

Розв’язання. Знайдемо сукупність усіх первісних функцій для функції f ( x ) .

F ( x ) = х3 -2,5х2 + 4х + С.

Кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції F / ( x ) = f ( x ). З рівняння дотичної випливає, що f ( x ) = 2. з цієї умови знаходимо абсциси точок дотику графіка первісної функції до прямої.

3 х2 – 5х + 4 = 2, 3х2 – 5х + 2 = 0, х1 = 1, х2 =.

Координати точок дотику графіка первісної функції до заданої прямої задовольняють рівняння прямої у = 2х –, тому у1= ; у2 = 1.

Оскільки графіки шуканих первісних проходять відповідно через точки А і

В
, то координати кожної з цих точок задовольняють рівняння первісної.


; С1 =
.


; С2 =.

Відповідь: F1 ( x ) = ; F2 ( x ) =

– Перевірка і поглиблення рівня засвоєння учнями знань і вмінь

Розв’язування різнорівневих завдань за вибором. Учні одержують картки із завданнями.

Знайдіть невизначений інтеграл.

( 1 бал ) І рівень

Відповідь.

( 2 бали ) ІІ рівень

Відповідь

( 3 бали ) ІІІ рівень

Відповідь

Визначений інтеграл

Фронтальна бесіда

Запитання до класу

( для відповіді учні використовують таблиці, які знаходяться на бічній дошці )

  1. Дайте означення визначеного інтеграла.
  2. Дайте означення криволінійної трапеції.
  3. Як можна обчислити площу криволінійної трапеції?

– Два учні на зворотних боках дошки записують формули, потім відкривають для перевірки. Учні класу одержують конверти із розрізаними на частини формулами. Встановити відповідність частин, щоб одержати формули:

1. ;

2. ;

3. ;

4. ;

5. ,;

6. ;

7. якщо f ( x ) – непарна неперервна функція, то ;

8. якщо f ( x ) – парна неперервна функція, то.

– Розв’язування завдань ( на дошці )

1. Обчисліть визначений інтеграл:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ( дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція парна і неперервна );

7. ( дорівнює нулю, оскільки підінтегральна функція непарна і неперервна );

8. ; 9. .

2. При яких значеннях параметра а інтеграл набуває додатних значень?

Розв’язання.

а3 – 5а2 + 6а , де а – значення верхньої межі інтеграла, тобто a > 0. оскільки за умовою інтеграл набуває додатних значень, то дістанемо нерівність а3 – 5а2 + 6а > 0, а ( а2 – 5а + 6 ) > 0; а ( а – 3 )( а – 2 ) > 0.

Розв’язуючи дану нерівність методом інтервалів, одержуємо: .

Відповідь. .

Застосування визначеного інтеграла

Діалогічна бесіда

1. Учні формулюють, як можна використовувати визначений інтеграл:

1). знаходження площі криволінійної трапеції;

2). знаходження об’єму тіла;

3). у фізиці ( робота змінної сили та кількість електрики, що проходить через переріз дроту за t с.

2. Приклади обчислення площ фігур.

Учні за рисунками на плівці ( кодоскоп ) відповідають на запитання:

1). На якому з рисунків площу криволінійної трапеції можна обчислити,

користуючись геометричним змістом визначеного інтеграла?

2). Якщо функція f( x ) на проміжку набуває недодатних значень, то як

обчислюємо площу фігури, обмеженою лініями y = f ( x ), x = a, x = b, y = 0 ?

3). Укажіть, за якою формулою можна знайти площу фігури на даних рисунках і запишіть її.


а)

б)
в)

г)

д)
е)

Учні зачитують те, що написали в зошитах.

4). Зобразіть фігуру, площа якої задано інтегралом:

а). ; б). ; в). ; г). .





 

5). Запишіть за допомогою визначеного інтеграла площу фігури зображеної на рисунку.





– Розв’язування завдань ( на дошці )

Задача 1. Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = – х2 + 4х, дотичною до параболи в точці ( 1 ; 3 ) і прямою у = 0.

Розв’язування.

у ( 1 ) = – 1 + 4 = 3, у/ ( х ) = – 2х + 4, . у/ ( х ) = – 2 + 4 = 2,

у = 3 + 2 ( х – 1 ) = 2х + 1.

Рівняння дотичної має вигляд: у = 2х + 1.

Схематично зобразимо фігуру, площу якої треба знайти.

 

Шукану площу знайдемо як різницю площ прямокутного трикутника АВС ( катет АС =,

ВС = 3 ) та криволінійної трапеції, обмеженої лініями у = 4х – х2, у = 0, х = 1.

Отже, S =

Відповідь. .

Задача 2 ( учні розв’язують самостійно по варіантах – двоє на відкидній дошці )

а). Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями , х = 0, у = 0, та дотичної до цієї параболи, проведеною через точку з абсцисою х0 = 2.

Розв’язання .

Знайдемо рівняння дотичної

у = f ( x0 ) + f |( x0 )( x – x0 ),

f ( x0 ) = f ( 2 ) = .

f |( x )= x. f | ( x0 ) = f | ( 2 ) = 2.

y = 3 + 2( x – 2 ), y = 2x – 1.

 

Схематично зобразимо фігуру, площу якої

треба знайти.

S = S1.

Відповідь. .

б).Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = ( х – 1 )2 , у = – ( 2х – 2 )2, х = 0.

 

Розв’язання .

у = – (2 ( х – 1 ))2 = – 4 ( х – 1 )2;

S1 = ;

S2 =

S = S1 + S2 = .

Відповідь.

Розв’язування задач перевіряється коментуванням

 

Задача 3

а). Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями; у = 0, х = – 1; х = 2.

Розв’язання.

S = 2 S1 + S2;

S1 = ;

S2 = ; S = 2 +

Відповідь.

б). Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями ; у = х + 2.

Розв’язання.

Знайдемо межі інтегрування:

1)., х2 – 4 = х + 2, х2 – х – 6 = 0, х1 = 3, х2 = – 2.

 

2). х2 – 4 < 0, 4 – х2 = х + 2, х2 + х – 2 = 0, х1 = 1, х2 = – 2.

S = S1 + S2 + S3

S1 =

.

S2 =.

S3 =

S = S1 + S2 + S3 = 8,5

Відповідь. 8,5.

V. Підсумок уроку

Тестове завдання

Варіант1

1.Яка з наведених функцій є первісною для функції f ( x ) =?

А

Б

В

Г

2.Укажіть загальний вигляд первісної для функції f ( x ) =

А

Б

В

Г

3.Укажіть первісну для функції f ( x ) = , графік якої проходить через точку М .

А

Б

В

Г

4.Обчисліть інтеграл .

А

Б

В

Г

5.Обчисліть площу фігури, зображеної на рисунку.


 

 

 

 

 

А

Б

В

Г

6.Укажіть формулу, за якою можна обчислити площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку.


 

 

 

 

 

А

Б

В

Г

 

Варіант2

1.Яка з наведених функцій є первісною для функції f ( x ) =;

А

Б

В

Г

 

2.Укажіть загальний вигляд первісної для функції f ( x ) =

А

Б

В

Г

3.Укажіть первісну для функції f ( x ) =sin x, графік якої проходить через точку

М .

А

Б

В

Г

4.Обчисліть інтеграл .

А

Б

В

Г

5.Обчисліть площу фігури, зображеної на рисунку.


 

 

 

 

А

Б

В

Г

6.Укажіть формулу, за якою можна обчислити площу заштрихованої фігури, зображеної на рисунку.


 

 

 

 

 

А

Б

В

Г

– Заповнюється листок оцінювання

– Вправа ,, Незакінчене речення ”

Сьогодні на уроці ми …….

Щоб знайти ……, треба………

VI. Домашнє завдання

Готуватись до контрольної роботи ст.. 278 – 280


 

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок № 18 -19 (751.0 KiB, Завантажень: 47)

завантаження...
WordPress: 22.95MB | MySQL:26 | 0,718sec