Розв’язування прикладних комбінаторних задач

Урок 5

Тема: Розв’язування прикладних комбінаторних задач

Мета: Продовжити вчити учнів розрізняти види сполук, розв’язувати нескладні комбінаторні задачі; формувати вміння знаходити число сполук за допомогою правил, формувати вміння аналізувати, здатність швидко адаптуватись в нестандартних умовах, розвивати творчу активність та самостійність, інтерес до математики, використовуючи життєвий досвід.

Хід уроку:

І. Організаційна частина:

а) перевірка готовності до уроку

б) вступне слово вчителя

Епіграф: Працюй для того, щоб насолоджуватись. Ж. Ж. Руссо

-Я хочу, щоб радісний настрій зберігався у вас протягом дня, щоб ви усміхалися, відчували себе впевнено на уроці, щоб ви були задоволені собою. А людина тоді задоволена – коли каже: “Мені це вдалось!” Сьогоднішній урок – це плідна наша праця. Тема (слайд) нашого уроку звучить так: “Розв’язування прикладних (комбінаторних) задач.” Мета якого: продовжити розрізняти види сполук, розв’язувати нескладні комбінаторні задачі, формувати вміння знаходити число сполук за допомогою правил.

Доповідь: Де використовується комбінаторика.

Комбінаторика – важливий розділ математики, знання якого необхідно представникам різноманітних спеціальностей. З комбінаторними задачами доводиться мати справу фізикам, хімікам, біологам, лінгвістам, спеціалістам по кодам та ін.. Комбінаторні методи лежать в основі рішення багатьох задач теорії ймовірностей та її застосувань Комбінаторика – гілка математики, що вивчає комбінації та перестановки предметів, – виникла в XVII ст. Довгий час здавалося, що комбінаторика лежить поза основної течії розквіту кінцевої математики. Зараз комбінаторні методи застосовуються в теорії випадкових процесів, статистиці, математичному програмуванні, обчислювальній математиці, плануванні експериментів, і т.п. В математиці комбінаторика використовується при вивченні комбінаторної геометрії, представлень груп, неасоціативних алгебри і т.д.

Вчитель. У нашому місті відкривається обчислювальний центр, на роботу в якому претендують наші фірми (групи) Еврика, Електронник, Фокстрот та Байт. Тому сьогодні оголошено тендерні змагання відносно роботи в центрі. Хто виграє цей тендер, залежить від вашої уваги, зібраності та активної роботи. Активність групи визначається кількістю учнів, які відповідали на запитання та розв’язували задачі. За роботою наших фірм будуть слідкувати журі.

І Визначити різницю у сполуках.

1) Чим відрізняються перестановки одна від одної?

(порядком розташування елементів)

2) Чим відрізняються розміщення?

(або вибором розміщення або порядком їх розташування)

3) Чим відрізняються комбінації?

(тільки вибором елементів, порядок розміщення не враховується)

Вказати вид сполуки та відповідну формулу:

4) 25 учнів потиснули один одному руки перед уроками. Скільки було зроблено рукостискань?

5) У класі з 32 учнів для проведення зборів обирають голову, заступника і секретаря. Скількома способами це можна зробити?

6) Біля столу стоять 9 стільців. Скільки способів розміщення 9 осіб за столом?

7) 30 студентів обмінялися фотографіями так, що кожний обмінявся із кожним. Скільки було роздано фотографій?

ІІ Наша фірма “Еврика”: а) склала алгоритм визначення виду сполуки

б) Фірма “Електронник” підготувала задачу. “Учасники шахового турніру грають в залі, де є 8 столів. Скількома способами можна розмістити шахістів якщо учасники всіх партій відомі?”

Розв’язання

За умовами пари шахістів відомі, тому достатньо розділити столи між 8-ми парами, а це можна зробити Р8=8! способами

1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 = 720 * 56 = 40320

в) Фірма “Байт” підготувала задачу.

У фірмі 30 співробітників. Скількома способами може бути вибраний керівник та його заступник, якщо кожен може бути вибраний на одну з цих посад?

Вчитель

Комбінаторні задачі бувають різних видів. Але більшість із них розв’язують за допомогою двох правил.

Починаємо “Мозковий штурм”

Розглянемо задачі, які допоможуть нам вивести ці правила

Задача 1

В одній вазі лежить 5 яблук, а в другій 8 мандаринів. Скількома способами можна вибрати або яблуко, або мандарин?

Розв’язання

Одне яблуко можна вибрати п’ятьма способами, а один мандарин 8 способами. Тоді яблуко, або мандарин можна вибрати 5 + 8 способами

1. Правило суми

Якщо об’єкт А може бути вибраний m способами, а об’єкт B може бути вибраний іншими n способами , то вибір одного елементу або А, або В – може бути здійснений m + n способами.

Задача 2

У магазині є три види ручок і два види олівців. Скільки різних комплектів, які складаються із ручки та олівця, можна придбати в цьому магазині?

Розв’язання

N = 3 * 2 = 6 різних комплектів

2. Правило добутку

Якщо об’єкт А може бути вибраний m способами і після кожного такого вибору об’єкт В може бути вибраний n способами, то вибір пари об’єктів А і В у означеному порядку може бути здійснений mn способами. Ці правила можуть бути поширені на випадок вибору із трьох і більше множин.

Скласти алгоритм вибору правил, яким необхідно користуватися при розв’язанні комбінаторних задач.

а) У речовій лотереї розігруються 5 предметів. Перший, хто підійшов до урни, виймає із неї 5 білетів. Яким числом способів він може її вийняти, щоб три з них виявились виграшними, якщо в урні 100 білетів?

Запитання:

1) З яким видом сполуки маємо справу? Порядок елементів у цій сполуці несуттєвий.

2) Скількома способами можна вийняти три виграшних білета з п’яти виграшних? Порядок не цікавить

3) Скількома способами можна вийняти 2 виграшних білета із всіх невиграшних? С

4) Яким правилом слід скористатися для знаходження кількості способів вибору 5 білетів ( 3 виграшних і 2 невиграшних.)

N = С 5 * С 95 = 5 * 4 * 3 /1.2.3. * 95 * 94/ 1 * 2 * = 10 * 95 * 47 = 44650

На футбольний турнір необхідно послати збірну команду у складі: тренер, його помічники, 2 асистенти, 20 футболістів, лікар і 2 масажисти. Тренерський склад може бути підібраний з 10 спеціалістів, футболісти – із 25 спортсменів, лікаря можна вибрати одного з трьох, а масажистів – двох з п’яти. Скількома способами можна буде укомплектувати таку команду?

Розв’язання:

А 10 – вибір тренера і помічника ( порядок обов’язків);

С 8 – вибір асистентів ( із 8 спеціалістів що залишилися);

С 25 – вибір футболістів;

С 3 – вибір лікаря;

С 5 – вибір масажистів

Вибір команди А 10 С 8 С 25 С 3 С 5 = 4016628000 способами

МГ без експертів займаються розв’язанням задач за підручником (перевірка здійсниться через кодоскоп). Творча група в цей займається розв’язанням наведеної нижче задачі.

Довести, що n – 5n +4n / 120 – це ціле число при n є N.

Доведення n – 5n + 4n / 120 = n (n – 5n + 4) / 120 = n (n – 1) (n – 4) / 120 = (n +2) (n + 1) n (n – 1) (n – 2)/ 1 * 2 * 3 * 4 * 5 при n = 1 та n = 2 це число дорівнює нулю, а при n = 3, n є N маємо (n + 2) (n + 1) n (n – 1) (n – 2) / 1 * 2* 3 * 4 * 5 = C, що є цілим числом, як кількість комбінацій із n + 2 елементів по

5. Твердження доведено

Дебрифінг (питання на початку уроку)

Підведення підсумків: 1) визначення переможця; 2) виставлення оцінок. Домашнє завдання.

Вірш

Настав кінець уроку, Прийшов труду кінець Команда-переможниця Сьогодні – МОЛОДЕЦЬ!

Всі добре працювали, Старались, як могли. Немає переможених, Тут всі перемогли.

Домашнє завдання

№ 29.14

· = ·

№ 29.18°


№ 29.23°°



ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 5 (17.8 KiB, Завантажень: 39)

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,787sec