Рівняння четвертого степеня. Біквадратне рівняння. Деякі рівняння четвертого степеня, що зводяться до квадратних

Рівняння четвертого степеня

4
+ bx3 + cx2
+ dх + к = 0

є останнім з алгебраїчних рівнянь (після лінійних, квадратних і кубічних), корені якого виражаються через коефіцієнти a, b, с, d, к у вигляді деякої комбінації радикалів. Формули обчислення коренів рівняння четвертого степеня у загальному випадку досить громіздкі, і ми їх наводити не будемо. Скажемо тільки, що корені рівняння четвертого степеня можна записати у вигляді комбінацій коренів деякого кубічного рівняння, яке відповідає даному рівнянню четвертого степеня.

Алгебраїчне рівняння четвертого степеня види

ax4 +bx2 + c = 0,

де a, b, c – деякі дійсні числа, називається біквадратним рівнянням. Заміною x2 = y розв’язання біквадратного рівняння зводитеся до розв’язання квадратного рівняння ay2 + by + c = 0 з наступним розв’язанням двох двочленних рівнянь x2 = y1 і x2 = y2 (y1, y2 – корені відповідного квадратного рівняння).

Якщо y1≥0, y2≥0, то біквдратне рівняння має чотири дійсних корені:

X1,2 = ±1, X3,4 = ±2.

Якщо y1≥0, y2<0, то біквдратне рівняння має два дійсних корені

X1,2 = ±1 і два суто уявні спряжені корені: x3,4 = ±i 2.

Випадок y1<0, y2≥0 аналогічний розглянутому.

Якщо y1<0, y2<0, то біквдратне рівняння має чотири суто уявні попарно спряжені корені:

X1,2 = ±1, X3,4 = ±2.

Якщо у1
і у2
— комплексні корені відповідного квадратного рівняння, то, щоб знайти чотири корені біквадратного рівняння, треба добути квадратні корені з комплексних чисел у1
і у2. Цієї досить громіздкої операції можна уникнути так.

Запишемо вихідне рівняння ax4 +bx2 + c = 0 у вигляді

x4 +px2 + q= 0,    (8)

де р = b/a, q = с/а, причому коефіцієнти р і q, внаслідок припущення про комплексність коренів квадратного рівняння, задовольняють умови

│р│ < 2 і q > 0.

Перетворимо ліву частину рівняння (8):

x4 +px2 + q = ( x4 + q) + px2 =

= ( x4 + 2 x2 + q) – (2 p)x2 = ( x2 + )2 – (2 – p) x2 =
=( x2 + x +) ( x2 – x +).

Тепер розв’язування біквадратного рівняння ax4 +bx2 + c = 0 зводиться до розв’язування двох квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами:

x2 + x + = 0

x2 – x + = 0

Розв’язування рівнянь виду ax2k + bxk + c = 0 (a ≠ 0, k — натуральне число) заміною хk
= у зводиться до розв’язування квадратного рівняння


ау2
+ + с = 0 з наступним розв’язуванням відповідних двочленних рівнянь.

Алгебраїчне рівняння четвертого степеня вигляду

4+ 3
+ сх2
+ + e = 0    (9)

при e ≠
0 називається зворотним, якщо коефіцієнти рівняння a, b, d, e
зв’язані рівностями d = λb,
e = λ2a (λ – деяке відмінне від нуля число). Використавши цей зв’язок між коефіцієнтами, рівняння (9) можна записати у вигляді

ах4
+ bх3 + сх2+ λbх + λ2a = 0.    (10)

Оскільки х = 0 не є коренем рівняння (9), то, поділивши почленно обидві частини рівняння (10) на х2
і провівши відповідне групування членів лівої частини рівняння, дістанемо рівняння, еквівалентне рівнянню (10):

a(x2 + ) + b(x + ) + c = 0/

Тепер заміною х + = у (врахувавши, що x2 + = у22λ) останнє

рівняння зводиться до квадратного рівняння відносно у:

ay2 + by + c – 2 λa = 0    (11)

Розв’язуючи рівняння (11), дістаємо, що розв’язування зворотного рівняння (10) зводиться до розв’язування двох квадратних рівнянь:

x2 – y1x + λ = 0,

x2 – y2x + λ = 0,

де y1 і y2 – корені рівняння (11).

Окремим випадком зворотного рівняння є симетричне рівняння (відповідне λ = 1)

ах4
+ bх3 + сх2+ + a = 0

і кососиметричне рівняння (відповідне λ = —1)

ах4
+ bх3 + сх2 + a = 0.

Заміною х + = у для симетричного і х = у для кососиметричного

рівнянь ці рівняння зводяться до квадратних рівнянь відносно невідомого у. Рівняння четвертого степеня вигляду

2 + + с) (х2
+ + d) = k,    (12)

де b, с, d, k — деякі дійсні числа, заміною

х2
+ = у

зводиться до такого квадратного рівняння відносно невідомого у:

у2 + (с + d) у +ас — k = 0.    (13)

Якщо рівняння (13) має дійсні корені у1
і у2, то корені рівняння (12) можна знайти як корені двох квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами:

х2
+ у1
= 0,

x2
+ bx — у2
= 0.

Розв’язування рівняння вигляду

x (х + а) (х + b) (х+ а+ b) = с,    (14)

де а, b, с — деякі дійсні числа, може бути зведене до розв’язування двох квадратних рівнянь так.

Перемноживши перший і четвертий, другий і третій співмножники, дістанемо рівняння

2 + (а + b) х] [x2 + (а + b) х + аb] = с,

яке заміною

х2 + (а + b) х = у

зводиться до квадратного рівняння відносно нової невідомої у:

у2 + аbу — с = 0.    (15)

Якщо рівняння (15) має дійсні корені у1
і у2, то множину коренів рівняння (14) знаходять як множину коренів таких двох квадратних рівнянь з дійсними коефіцієнтами:

х2 + (а + b) х – y1
= 0,

х2 + (а + b) х – у2
= 0.

Двочленні рівняння.

Рівняння n-го степеня

axn ± b = 0    (16)

називається двочленним рівнянням. При a > 0 і b > 0 заміною

x = y , де – арифметичне значення кореня, рівняння (16) зводиться до рівняння

yn ± 1 = 0,

яке і будемо далі розглядати.

Якщо a і b мають різні знаки, то x = y .

Двочленне рівняння уп
– 1=0 при непарному п має один дійсний корінь

y =1. У множині комплексних чисел це рівняння має п коренів (а яких один дійсний і п — 1 комплексних), обчислюваних за формулою

yk = cos + i sin (i = 0, 1, 2,…,n-1).    (17)

Двочленне рівняння yn-1=0 при парному n у множині дійсних чисел має два корені {у= 1; у = – 1}, а в множині комплексних чисел — n коренів, обчислюваних за формулою (17).

Двочленне рівняння уп
+ 1 = 0 при непарному п має один дійсний корінь

у = –і, а в множині комплексних чисел — n коренів, обчислюваних за формулою

yk = cos + i sin (i = 0, 1, 2,…,n-1). (18)

Двочленне рівняння уn + 1 = 0 при парному n дійсних коренів не має.

У множині комплексних чисел рівняння має n коренів, обчислюваних за

формулою (18).

Корені двочленного рівняння для деяких конкретних значень n такі:

1) y2
– 1 = 0 (п = 2). Рівняння має два дійсні корені y1,2 = ±1;

2)     y3-1= 0 (п = 3). Рівняння має один дійсний корінь y1= 1
і два

комплексні корені у2,3 = ;

3)     y4 – 1 = 0 (n = 4). Рівняння має два дійсні корені у1,2 = ±1 і два
комплексні корені у3,4 = ±і;

4) y2+1=0 (n = 2). Рівняння дійсних коренів не має. Комплексні корені:

y1,2 = ±і;

5)     у3
+ 1 = 0 (n = 3). Рівняння має один дійсний корінь у1
=-1 і два

комплексні корені у2,3 = ;

6)     y4 + 1 = 0 (n = 4). Рівняння дійсних коренів не має. Комплексні корені:

y1,2 =

y3,4 = –

 

Розв’язування алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами.

Раціональні корені алгебраїчного рівняння n-го степеня

а0хn
+ а1xn-1 + а2хn-2 + … +аn-1х + аn
= 0,    (19)

де а0, а1, а2,…, an-1, an – цілі числа, можна знайти, користуючись такою теоремою:

Раціональними коренями рівняння (19) можуть бути тільки числа т/р (т—ціле, р натуральне), де. число |т| є дільником числа |ап|, а число р дільником числа | а0|.

Приклад. Знайти корені рівняння

4 + 8x3 – 3x27х
+ 3 = 0.    (20)

Дільниками числа 3 є числа 1, 3, а дільниками числа 4 — числа 1, 2, 4. Множиною значень т буде {1; -1; 3; -3}, а множиною значень р – {1, 2, 4}. Множиною різних раціональних чисел буде {± 1; ±3; ±; ±1/4; ±3/2; ±3/4}. Безпосередня підстановка цих чисел в рівняння (20) показує, що числа 1/2 і

3/2 – корені даного рівняння, і, отже, даний многочлен ділиться на лінійні многочлени

( x – ) і (x + ),

а також на їхній добуток

( x – ) (x + ) = x2 + x – .

Виконавши ділення «кутом», знаходимо многочлен частки:

2
+ 4x – 4.

Розв’язавши квадратне рівняння

2 + – 4 = 0,

дістанемо ще два дійсні корені рівняння (20):

x3 = , x4 = .

Отже, задача повністю розв’язана – знайдено всі чотири корені початкового рівняння:

x1 = x2 = – ; x3 = ; x4 = .

Раціональні алгебраїчні рівняння.


Раціональним алгебраїчним рівнянням називається рівняння вигляду

= 0,            (21)

де Р (х) і Q(х) — многочлени. Далі для визначеності вважатимемо, що Р (х) -многочлен m-го степеня, а Q (х) — многочлен n-го степеня.

Множина допустимих значень раціонального алгебраїчного рівняння (21) визначається умовою Q(x) ≠ 0, звідки випливає, що х ≠ с1, х ≠ с2, …, х = сn, де c1, с2, …, сn
— корені многочлена Q(x).

Метод розв’язання рівняння (21) такий. Розв’язуємо рівняння

Р (х) = 0,

корені якого позначимо через

x1, x2, x3, …, xm.

Порівнюємо множини коренів многочленів Р (х) і Q (х). Ті корені многочлена


Р (х), які не є коренями многочлена Q(х), є коренями (розв’язками) раціонального рівняння (21).

Приклад. Знайти дійсні корені рівняння

= 0,

де Р (x) = x4
– 1, Q (х) = x – 1.

Многочлен Р (х) має два дійсні корені (обидва прості):

x1 = 1, х2
= -1.

Многочлен Q(x) має один корінь с1 = 1. Отже, рівняння має
один дійсний корінь x = -1.

Розв’язуючи те саме рівняння в множині комплексних чисел, дістанемо,

що рівняння = 0 має крім названого дійсного кореня, два комплексно

спряжені корені:

x2 = i, x3 = -i.

 

Ірраціональні рівняння.

Рівняння, яке містить невідоме (або раціональний алгебраїчний вираз від невідомого) під знаком радикала, називають ірраціональним рівнянням. В елементарній математиці ірраціональні рівняння розв’язуються у множині дійсних чисел.

Будь-яке ірраціональне рівняння за допомогою елементарних перетворень (множення, ділення, піднесення до цілого степеня обох частин рівняння) можна звести до раціонального алгебраїчного рівняння. При цьому слід мати на увазі, що знайдене раціональне алгебраїчне рівняння може бути нееквівалентне початковому ірраціональному рівнянню, а саме може мати «зайві» корені, які не є коренями початкового ірраціонального рівняння. Тому, обчисливши корені добутого алгебраїчного рівняння, треба перевірити, чи будуть усі вони також і коренями початкового ірраціонального рівняння.

У загальному випадку важко назвати який-небудь універсальний метод розв’язування будь-якого ірраціонального рівняння, оскільки бажано, щоб внаслідок перетворень початкового ірраціонального рівняння дістати не просто якесь раціональне алгебраїчне рівняння, серед коренів якого є і корені даного ірраціонального рівняння, а раціональне алгебраїчне рівняння, утворене з многочленів якомога меншого степеня. Бажання знайти раціональне алгебраїчне рівняння,утворене з многочленів якомога меншого степеня, цілком природне, бо знайти всі корені раціонального алгебраїчного рівняння – складна задача, яку ми можемо розв’язати в досить обмеженій кількості випадків.

Розглянемо деякі стандартні методи розв’язування ірраціональних алгебраїчних рівнянь.

1) Одним з найпростіших прийомів розв’язування ірраціональних рівнянь є метод звільнення від радикалів послідовним піднесенням обох частин рівняння до відповідного натурального степеня. При цьому, якщо обидві частини рівняння підносити до непарного степеня, то дістанемо рівняння, еквівалентне початковому; якщо ж обидві частини рівняння підносити до парного степеня, то знайдене рівняння може бути нееквівалентне початковому рівнянню. В цьому неважко переконатися, піднісши обидві частини рівняння

f(x) = g(x)

до будь-якого парного степеня 2п. Внаслідок цієї операції дістанемо рівняння

[f(x)]2 = [g(x)]2n,

множина розв’язків якого є об’єднанням множин розв’язків двох рівнянь:

f(x) = g(x) і f(x) = -g(x)

Проте, незважаючи на цей недолік, саме процедуру піднесення обох частин рівняння до деякого (часто парного) степеня найчастіше використовують, щоб звести ірраціональне рівняння до раціонального.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

+ = R(x),    (22)

де Р (x), Q (x), R (x) — деякі многочлени.

За означенням операції добування кореня в множині дійсних чисел допустимі значення невідомого х визначаються умовами

Р (х) ≥ 0, Q (х)≥0.

Піднісши обидві частини рівняння (22) до квадрата, дістанемо рівняння

2 = R2(x) – Р(х) – Q(х).

 

Графік функції і найпростіші перетворення графіка функції

Графіком функції у =f(х) у прямокутній декартовій системі координат Оху називають множину всіх упорядкованих пар точок з координатами (х; f(х)).

Найпростішими перетвореннями графіка функції у = f(х) у прямокутній декартовій системі координат Оху є подані нижче перетворення.

  1. Перенесення графіка паралельно осі ординат. Графік функції у = f(х) + а дістаємо з графіка функції у = f(x) паралельним перенесенням r = (0; а). Якщо число а додатне, то графік функції у = f(х) + а дістаємо, зсуваючи графік функції у = f (x) на а одиниць угору; якщо а від’ємне — на а одиниць униз (рис. 1).
  2. Перенесення графіка паралельно осі а б с ц и с. Графік функції у = f (x а) дістаємо з графіка функції у = f(х) паралельним перенесенням r = (а; 0). Якщо а < 0, то графік переносять ліворуч, якщо а > 0 — праворуч (рис. 2).
  3. Розтяг і стиск графіків функції. Нехай дано графік функції

    у = f
    (x) і точка з координатами (x0; у0) належить графіку функції у = f (х).

    Розглянемо функцію у =kf(х) (k— додатне число). Точка графіка функції

    у = kf(х) з абсцисою х0
    має ординату 0. При к > 1 ординати точок графіка функції у = kf(х) збільшуються у k раз порівняно з ординатами точок графіка функції у = f(х), які мають ту саму абсцису. Тоді кажуть, що графік функції

    у = kf(х) утворюється з графіка функції у = f(х) розтягом від осі абсцис у k
    раз.

    При 0 < k < 1 ординати точок графіка функції у = kf(х) зменшуються у
    раз порівняно з ординатами точок графіка функції у = f(x), що ………..


    Рис.1
    Рис. 2


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

оксана (46.8 KiB, Завантажень: 0)

завантаження...
WordPress: 23.05MB | MySQL:26 | 0,342sec