ПОНЯТТЯ РЯДУ ФУР’Є. КОЕФІЦІЄНТИ ФУР’Є

Дві функції інтегровні на відрізку , називаються ортогональними на цьому відрізку, якщо


Скінченна чи нескінченна система функцій називається ортогональною на відрізку якщо будь-які дві функції цієї системи ортогональні на цьому відрізку, тобто


для

Лема 1. Тригонометрична система функцій

    (1)

ортогональна на відрізку . Доведення. Маємо


Лему доведено.

Тригонометричним рядом називається функціональний ряд вигляду

    (2)

де — постійні дійсні числа, які називаються коефіцієнтами тригонометричного ряду.

Припустимо, що тригонометричний ряд (2) на відрізку збігається до функції :

    (3)

Оскільки члени тригонометричного ряду є періодичними функціями з періодом то ряд (2) збігатиметься на всій числовій прямій, і його сума є – періодична функція.

Якщо ряд (2) збігається рівномірно на відрізку то, за теоремою його сума
буде — періодичною функцією, неперервною на всій числовій прямій. При цьому припущенні знайдемо коефіцієнти тригонометричного ряду. За теоремою рівномірно збіжний ряд можна інтегрувати почленно:


                                                    (4)

Оскільки


то рівність (4) перепишемо у вигляді

 

                    звідки

     (5)

Якщо ряд (3) збігається рівномірно на відрізку , то ряд

(6)

утворений з ряду (3) множенням усіх його членів на неперервну функцію ,також збігається рівномірно на цьому відрізку (читачеві пропонуємо переконатись у правильності цього твердження). Інтегруючи почленно рівність (6), дістанемо

(7)

Оскільки тригонометрична система (1) ортогональна на відрізку ,то


Тому рівність (7) перепишемо у вигляді


звідки

    (8)

Аналогічно, помноживши
рівність (3)
на і проінтегрувавши потім почленно, дістанемо


звідки

    (9)

Таким чином, якщо тригонометричний ряд (2) збігається до
рівномірно на відрізку то його коефіцієнти позначаються за формулами (5), (8) і (9).

Нехай — інтегровна функція на відрізку Числа означувані за формулами

         (10)

називаються коефіцієнтами Фур’є функції . Тригонометричний ряд (2), коефіцієнти якого — коефіцієнти, Фур’є функції , називають рядом Фур’є цієї функції і записують

    (11)

В останньому записі стоїть знак відповідності ~ який свідчить про те, що інтегровній на відрізку функції у відповідність ставиться її ряд Фур’є. В яких випадках знак відповідності можна замінити знаком рівності — одна із задач, які ми будемо розв’язувати в даному розділі. Добуте ж нами вище можна сформулювати у вигляді такого твердження.

 

Теорема 1. Якщо функція на відрізку зображується у вигляді суми рівномірно збіжного на цьому відрізку тригонометричного ряду (2), то цей тригонометричний ряд єдиний і є рядом Фур’є функції .

Ця теорема аналогічна теоремі з іншого розділу.

Тут ми виявляємо аналогію із степеневими рядами. Подібно до того, як степеневий ряд є рядом Тейлора своєї суми , так і рівномірно збіжний тригонометричний ряд є рядом Фур’є своєї суми (теорема 1).

В теорії степеневих рядів ми бачили, що ряд Тейлора функції
може збігатися в деякому інтервалі до функції , відмінної від (приклад Кощі)

В теорії тригонометричних рядів ми спостерігаємо іншу картину.

Якщо ряд Фур’є — періодичної неперервної функції
збігається в деякій точці, то його сума в цій точні
неодмінно дорівнює . Це твердження ми доведемо. Для дослідження питання збіжності ряду Фур’є та інших питань, пов’язаних з цими рядами, нам необхідно мати інтегральне зображення частинних сум і ряду Фур’є та їх арифметичних середніх. Розглянемо це у наступному параграфі.

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,314sec