Поняття границі функції в точці

Урок 3

Тема. Поняття границі функції в точці.

Мета. Формувати у учнів поняття про границю функції в точці та її основні властивості; працювати над засвоєнням відповідної математичної символіки; розпочати роботу над формуванням умінь знаходити границі елементарних функцій в точці з метою підготовки учнів до сприйняття означення похідної функції в точці.

Методи і прийоми навчання. Метод «прес», колективне розв’язування вправ,метод «мікрофон».

 

Хід уроку

I.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II.Актуалізація опорних знань.

Вибірково перевіряємо виконання домашнього завдання.

Учні складають « Корисну пораду» як розв’язувати рівняння з модулями та нерівності з модулями; обмін думками.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

1.Уявлення про зміст поняття границя функції в точці.

2.Символічний запис та його зміст.

3.Неперервність функції в точці. Доведення факту, що задана функція є неперервною в точці.

Нехай функція визначена у всіх точках проміжку , за винятком, можливо, деякої точки . Побудуємо послідовність значень аргументу функції :

,   , (1)

таку, щоб всі члени послідовності належали проміжку і послідовність збігалась до точки :

.

Тоді значення функції

. (2)

також утворять деяку числову послідовність.

Говорять, що число є границею функції при , що прямує до , якщо для будь-якої послідовності значень аргументу (1), яка збігається до числа послідовність значень функції (2) збігається до числа , і пишуть

.

Примітка. Це визначення границі функції називається визначенням границі по Гейне.

Якщо число– границя функції в точці , то пишуть або при .

Нехай функція має границю , тоді вона, очевидно, єдина.

Властивості границь

Теорема. Нехай функції f(x) і g(x) мають границі в точці х0:


f(x)=А

g(x)=B

Тоді функції f(x)g(x), f(x)·g(x), (при В0) також мають границі в точці x0, причому:

  1. [f(x)±g(x)]=А±B;
  2. [f(x)·g(x)]=А·B;
  3. .

    Наслідок 1. Для довільного числа С

    [С
    f(x)]=Cf(x).

    Наслідок 1. Для довільного mÎN

    [f(x)]m=[f(x)]m

    З поняттям границі функції тісно пов’язане друге важливе поняття – неперервність функції. Це поняття функції математично відображає характерну рису багатьох явищ, які ми щоденно спостерігаємо в природі і говоримо про них, що вони відбуваються неперервно: неперервність течії рідини, неперервність зміни температури, неперервність росту живої істоти, неперервність плину часу і т.д.

    Геометричне зображення функції у вигляді її графіка допомагає нам до певної міри скласти собі уявлення про цю властивість. Якщо графік функції неперервний (суцільна лінія), тобто його можна накреслити, не відриваючи олівця від паперу, то й функція f(x) є неперервна.

    Так, функція у=х2, графіком якої є парабола, неперервна, а функція у= на будь-якому проміжку, що містить точку х=0, не є неперервною. Графік її розривається в точці х=0.

    Переходячи до строгого визначення поняття неперервності функції, нагадаємо, що в визначенні границі функції при
    було байдуже, визначена f(x) у точці х=х0 чи ні. Але якраз цей випадок, коли функція визначена в точці х=х0 і f(x)=f(x0) , є особливо важливим.


    Функція
    f(x) називається неперервною в точці
    х0 (чи при
    х=х0), якщо для будь-якої послідовності

    х1, х2, ….., хn, …..,

    збіжної до х0, відповідна послідовність

    f(x1), f(x2), …, f(xn),…

    значень функції збігається до
    f(x0).

    Коротко записується так:

    f(x)=f(x0)

    Слід визначити такі майже очевидні твердження про неперервні функції:

    Якщо
    f1(x) та
    f2(x) неперервні в точці
    х=х0, то сума
    f1(x)+ f2(x) та добуток
    f1(x)∙ f2(x) неперервні в цій точці; частка

    також неперервна в точці
    х=х0
    за умови, що
    f2(x0)0, тобто
    х=х0
    не є коренем знаменника.

    Справді,

    ;

    ;

    , якщо f2(x0) 0.

    Спираючись на ці твердження, приходимо до таких висновків:

  4. Ціла раціональна функція або многочлен

    P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an

    є неперервною функцією в будь-якій точці проміжку (-∞, ∞).

  5. Дробово-раціональна функція


    (припускається, що дріб нескоротний) є неперервною скрізь, за винятком тих вартостей х, які перетворюють знаменник на нуль.

    3. Функція неперервна скрізь, за винятком точок x=(2k+1), k=0, ±1, ±2,…, які перетворюють на нуль cos x.

    4. Функція неперервна скрізь, за винятком точок , k=0, ±1, ±2,…, що є коренями sin x.

    Неперервними є також функції: у=ах для всіх х з проміжку (-, ) та у=ха (а – дійсне число) для x>0. Доведення цих факторів грунтується на теорії дійсних чисел; читач може його знайти в повних курсах математичного аналізу.

    Що ж стосується обернених функцій, зокрема у=, у=, у=arcsin x, у=arccos x, у=arctg x, у=arcctg x, то їх неперервність прямо випливає з теореми (подаємо її без доведення).

    Теорема. Якщо у=f(x) неперервна зростаюча (або спадна) функція на замкненому проміжку [a, b], причому f(а)=А, f(b)=B, то для неї існує однозначна обернена функція
    теж зростаюча (або спадна) і неперервна на [A, B].

    Отже, з неперервності sin x випливає неперервність функції arcsin x; з неперервності у=ах випливає неперервність у= і т.д.

    IV.Розв’язування тренувальних вправ.

    №1.3

  6. = = = = = 2
  7. = = = = = 1

    № 1.5

  8. = = =
  9. = = = -3

    №1.7

  10. =

    * = * =

    = -1* = –

    №1.14

  11. – )= = =

    = = = = – ) =

    = = = = 0

  12. n) = –n = =

    = = = = –

    = = –

    №42


  13. 5) = = 2


    V. Підсумок уроку.

    Метод «мікрофон»

    Що нового ви дізналися на уроці?

    Що вам сподобалось на уроці, що не сподобалось?

    Що важко вдається робити з вивченої теми?

    VІ. Завдання додому.

    п. 2, п. 3, п.5

    Опрацювати розв’язані приклади 2,3 ст. 25 приклад 3 ст. 29

    № 3.2. (2,3) № 4.2 (5,6)


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 3 (80.2 KiB, Завантажень: 77)

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,327sec