ПОЛЕ КОМПЛЕКСЕИХ ЧИСЕЛ. ЧИСЛОВІ ПОЛЯ. ГЕОМЕТРИЧНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ КОМПЛЕКСНИХ ЧИСЕЛ І ДІЇ НАД НИМИ. ТРИГОНОМЕТРИЧНА ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА

Озн. Множина М наз. полем, якщо в ній введено дві операції + і *, тобто a,b М, a*b М, a+bМ, які задовільняють властивості:

  1. a,b М: a+b=b+a;
  2. a,b,c М: (a+b)+c=a+(b+c);
  3. нейтральний елемент відносно +;
  4. aМ: -а: а+(-а)=0;
  5. a,b М: ab=ba;
  6. a,b,c М: (ab)c=a(bc);
  7. хоча б один елемент ≠ 0;
  8. В множині М визначена операція «÷» крім ÷ на 0;
  9. a,b,c М: (a+b)c=aс+bc;

    Позначимо через С множину всеможливих пар дійсних чисел. Введемо в С операції + і *: (a;b)+(c;d)=(a+c;b+d); (a;b)·(c;d)=(ac-bd;ad+bc). Легко переконатись, що так введена операція комутативна, асоціативна, дистрибутивна.

    Доведемо дистрибутивність:

    ((a;b)+(c;d))(x;y)=(a+c;b+d)(x;y)=((a+c)x-(b+d)y; (a+c)y+(b+d)x)=(ax+cx-by-dy; ay+cy+bx+dx)=((ax-by)+(cx-dy);(ay+bx; cy+dx)=(a;b)(x;y)+(c;d)(x;y).

    Нейтральним елементом відносно + буде пара (0;0). Симетричним елементом буде пара (-a;-b). Очевмдно, що пара (a;b) для якої буде відмінний від 0 елемент. Ми показали, що так введені операції + і * задовільняють властивості поля. Множина С наз. полем комплексних чисел.

    Легко переконатись, що (0;1) є розв’язком рівняння : (0;1)2=(0;1)(0;1)=(0-1;0+0)=(-1;0)= -1. Позначимо (0;-1)=і, тоді пару (a;b) можна подати у вигляді (a;b)=(а;0)+(0;b)=а+bі. Запис комплексного числа у вигляді а+bі наз. алгебраїчною формою комплексного числа.

    Озн. Підмножина Р поля Р наз. підполем, якщо вона сама утв. Поле.

    Озн.
    підполе поля комплексних чисел наз числовим полем. Числові поля: множини, компл. числа, дійсні і рац числа.

    Кожному компл. числу на коорд. площині відповідає т.(a;b). Цю точку можна задати в полярних координатах:— це тригонометрична форма комплнксного числа. -модуль; φ— аргумент; Re(z)=a- дійсна, Im(z)=b- уявна частина.

    ; .

    Властивості компл. чисел: 1. a+ib=c+id : a=c, b=d. 2.(a+ib)+(c+id)=(a+c)+i(b+d). 3.(a+bi)-(c+di)=(a-c)-i(b+d). 4. (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.

    5. .6. . 7. . 8.. 9. . 10..

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Pole Compl Chysel (85.0 KiB, Завантажень: 4)

завантаження...
WordPress: 22.87MB | MySQL:26 | 0,327sec