Похідна складеної функції. Самостійна робота

Урок 12-13

Тема уроку. Похідна складеної функції. Самостійна робота.

Мета уроку. Формування поняття про похідну складеної функції, знань учнів про похідну складеної функції, умінь знаходити похідну складеної функції,навчити розпізнавати складену функцію,застосовувати відповідні правила для знаходження похідних;повторити теореми про похідні;розвивати логічне мислення;формувати культуру запису.

Методи і прийоми навчання. Фронтальна бесіда, робота в групах.

 

 

Хід уроку

I.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II.Актуалізація опорних знань.

1. Перевірка домашнього завдання

2. Самостійна робота.

Варіант 1.

1.    Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0:

а)    , х0=-1.                    (2 бали)

б)    
.                
(2 бали)

2.    Знайдіть похідну функцій:

а)    .                (2 бали)

б)    .                        (2 бали)

в)    .                    (2 бали)

Варіант 2.

1.    Знайдіть значення похідної функції f(x) при заданому значенні аргументу х0:

а)    , х0=-1.                    (2 бали)

б)    
.                
(2 бали)

2.    Знайдіть похідну функцій:

а)    .                (2 бали)

б)    .                        (2 бали)

в)    .                    42 бали)

Відповідь:
В-1. 1. а) ;                        б) -1

2. а) ;                б) ;                в)

В-2. 1.    а) ;                        б) 1

2. а) ;        б) ;            в) .

 

ІІІ. Сприймання і усвідомлення поняття складеної функції та її похідної

Розглянемо приклад.

Приклад 1. Нехай треба обчислити по заданому значенню х значення функції у, яка задана формулою .

Для цього спочатку треба обчислити за даним значенням х значення u=, а потім за значенням u обчислити у=.

Отже, функція g ставить у відповідність числу х число u, а функція f – числу u число у. Говорять, що у є складеною функцією із функції g і f, і пишуть .

Функцію g(х) називають внутрішньою функцією, або проміжною змінною, функцію f(u) – зовнішньою функцією. Отже, щоб обчислити значення складеної функції в довільній точці х, спочатку обчислюють значення u внутрішньої функції g, а потім f(u).

Приклад 2. Розглянемо функцію . Вона є складною із функцій
, де – внутрішня функція, – зовнішня функція.

Приклад 3.
Запишіть складні функції і , якщо

Розв’язання



Виконайте самостійно об’єднавшись у групи.

1. Задайте формулою елементарні функції і , із яких побудована складна функція :

а)            б)

в)                г)

Відповідь:    а)     

б)     ;

в)     

г)         .

2. Дано функції: . Побудуйте функції:

а) ;            в) ;            в) ;

г) ;            в) ;            є) .

Відповідь:     а) ;            б) ;

в) ;                г) ;

д)         є)

У складній функції присутня проміжна змінна . Тому при знаходженні похідної складної функції ми будемо вказувати, по якій змінній взято похідну, використовуючи при цьому спеціальні показники:

– похідна функції у по аргументі х;

– похідна функції у по аргументі u;

– похідна функції u по аргументі х;

Теорема.    Похідна складеної функції знаходиться за формулою , де , або похідна складеної функції дорівнює похідній зовнішньої функції по проміжній змінній, помноженій на похідну внутрішньої функції по основному аргументу.

Доведення

Будемо вважати, що функція має похідну в точці х0, а функція має похідну в точці u0=, тобто існують границі , і .

Нехай, аргументу х0 надано приросту , тоді змінна u набуде приросту . Поскільки одержала приріст , то функція у одержить також приріст . Приріст зумовив виникнення приросту і .

Подамо . Перейдемо до границі при (при цьому ).

або .

Приклад 1. Знайдіть похідну функції у = (3х3-1)5.

Розв’язання

у = (3х3-1)5 – складена функція , де u =3х3-1, тоді , .

При обчисленні похідної складеної функції явне введення допоміжної букви u для позначення проміжного аргументу не є обов’язковим. Тому похідну даної функції знаходять відразу як добуток похідної степеневої функції u5 на похідну від функції 3х3-1:

.

Приклад 2.Знайдіть похідні функцій:

а)    ;                    б)    ;

в)    ;                     г)    .

Розв’язання

а)    ;

б)    ;

в)    ;

г)    .

Виконайте самостійно об’єднавшись у групи і презентуйте свої результати.

1. Знайдіть похідні функцій:

а)    у = (3х+2)50;                        б)    (6-7х)10;

в)    ;                            г)    .

Відповідь:    а)    ;            б)    ;

в)    ;                        г)    .

2. Знайдіть похідні функцій:

а)    ;                            б)    ;

в)    ;                            г)    .

Відповідь:    а)    ;            б)    ;

в)    ;                г)    .

ІV. Підсумок уроку

При підведенні підсумків уроку можна скористатись таблицею.

Таблиця диференціювання

,де

V. Завдання додому.

п. 9-10 № 8.20 (4,5), № 8.22 (1-3)

 

 


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 12 (221.5 KiB, Завантажень: 81)

завантаження...
WordPress: 22.88MB | MySQL:26 | 0,319sec