Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної

УРОК 6-7

Тема уроку. Похідна. Механічний та геометричний зміст похідної.

Розв’язування вправ.


Мета уроку.
Познайомити учнів з означенням похідної, з’ясувати механічний та геометричний зміст похідної;ознайомити з загальною схемою знаходження похідної в заданій точці, розвивати логічне мислення, культуру запису.

Методи і прийоми навчання. Щадне опитування, колективне розв’язування вправ, метод «прес»

 

Хід уроку

I.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II.Актуалізація опорних знань

1.Щадне опитування

– Що називається середньою швидкістю прямолінійного руху точки?

– Що називається миттєвою швидкістю рухомої точки, закон руху якої описується s=s(t) ?

– Чому дорівнює миттєва швидкість рівномірного руху?

– Яка пряма називається січною до кривої?

– Яка пряма називається граничним положенням січної?

– Яка пряма називається дотичною до кривої?

– Чому дорівнює кутовий коефіцієнт дотичної до кривої?

2.   Перевірка правильності виконання домашніх вправ за записами на дошці, зробленими перед уроком.

IIІ. Пояснення нового матеріалу.

На попередньому уроці ми розглянули розв’язування двох задач: знаходження миттєвої швидкості та знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Ці дві задачі розв’язуються одним і тим самим способом, який складається з таких етапів:

1) незалежній змінній х надаємо приросту Δх;

2) знаходимо приріст залежної змінної Δу;

3) знаходимо відношення Δу до Δх ;

4) знаходимо границю даного відношення;

Даний алгоритм використовується при розв’язуванні і інших важливих задач (зокрема, про швидкість протікання хімічних реакцій, знаходження густини неоднорідного стержня, теплоємності тіла при нагріванні, сили змінного струму в провіднику та інш.), тому доцільно всебічно вивчити властивості цієї границі, зокрема, вказати способи її обчислення.

Нехай задано функцію у = f(x) на деякому проміжку. Візьмемо довільну внутрішню точку хо даного проміжку, надамо значенню хо довільного приросту Δх (число Δх може бути як додатним, так і від’ємним), але такого, щоб точка хох належала даному проміжку, тоді

1) Обчислимо в точці хо приріст Δу = Δf(хо) функції:

Δу = Δf(хо) = f(xo+ Δх) – f(хо);

2) Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу;

3) Знайдемо границю цього відношення при умові, що Δх → 0, тобто:


Якщо дана границя існує, то її називають похідною функції у = f(x) в точці хо і позначають f ‘(хо) або у’ (читається еф штрих від хо або у штрих).

 

Похідною функції у = f(x) в точці хо називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу при умові, що приріст аргументу прямує до нуля, а границя існує, тобто



Приклад 1. Знайдіть похідну функції f(x) = kx + b (k і b постійні) у точці xo

Розв’язання

Знайдемо приріст функції:

Δf = f(хо + Δx) – f(xo) = k(xo + Δx) + b – kxo – b = kxo + kΔx – kxo = kΔx.

Знайдемо відношення приросту функції до приросту аргументу

Отже, f ‘(хo) = k, або (kx + b)’ = k.

Відповідь: k.

З прикладу можна зробити висновок, що похідна лінійної функції є постійна величина, яка дорівнює кутовому коефіцієнту прямої. Якщо в формулі (kx + b)’ = k покласти k = 0, b = C, де С — довільна постійна, то одержимо, що С’ = 0, тобто похідна постійної дорівнює нулю.

Якщо в формулі покласти k = 1, b = 0, то одержимо х’ = 1.

Функцію, яка має похідну в точці хо, називають диференційованою в цій точці.

Функцію, яка має похідну в кожній точці деякого проміжку, називають диференційованою на цьому проміжку. Операція знаходження похідної називається диференціюванням.

Нехай D1 множина точок, у яких функція у = f(x) диференційована. Якщо кожному х з D1 поставити у відповідність число f'(x), то одержимо нову функцію з областю визначення – D1. Цю функцію позначають f’.

IV. Розв’язування тренувальних вправ.

1. Користуючись означенням похідної, знайдіть похідну функції f, якщо:

а) f(x) = х2 + 1 в точці 1;        б) f(x)
= х3 в точці 1;

Відповідь: а) 2; б) 3; в) -1;

2. Користуючись означенням похідної, знайдіть f'(x), якщо:

a) f(x) = 2х + 3;         б) f(x) = х2 + х;

в) f(x) = 5х2 + 6х;     г) f(x) = 3х2 + 5х + 6.

Відповідь: а) 2; б) 2х + 1; в) 10х + 6; г) 6х + 5.

3. За допомогою формули (kx + b)’ = k, знайдіть похідні функції:

a) f(x) = 3х + 4;          б) f(x) = 6х – 1;

в) f(x) = 10;         г) f(x) = 5х.

Відповідь: а) 3; б) 6; в) 0; г) 5.

V. Сприймання і усвідомлення механічного змісту похідної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження миттєвої швидкості прямолінійного руху матеріальної точки. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: якщо матеріальна точка рухається прямолінійно і її координата змінюється по закону s = s(t), то швидкість її руху v(t) в момент часу t дорівнює похідній s'(t):

v(t) = s'(t).

Виконання вправ

1. Точка рухається по закону s(t) = 1 + 2t2 (м). Знайдіть швидкість руху точки в момент часу t = 1 с.

Відповідь: 4м/с

2. Знайдіть миттєву швидкість руху точки, якщо:

a) s(t) = 3t + 1; б) s(t) = 3 – 2t;     в) s(t)= t2·, г)s(t) = 3t2.

Відповідь: а)
3; б) -2; в) 5t; г) 6t.

 

3. Точка рухається прямолінійно за законом s(t) = 2t3 — 3t (s — шлях в метрах, t — час в секундах). Обчисліть швидкість руху точки:

а) в момент часу t;     б) в момент t = 2 с.

Відповідь: а) (6t2 – 3) ; б) 21м/с .

4. Рух точки відбувається за законом s(t) = t2 4t + 6. У який момент часу швидкість руху дорівнює: а) 0; б) 10?

Відповідь: а) t = 2; б) t = 7.

VІ. Сприймання і усвідомлення геометричного змісту похідної, рівняння дотичної.

На попередньому уроці ми розглядали задачу про знаходження кутового коефіцієнта дотичної. Порівнюючи одержані результати з означенням похідної, можна зробити висновок: значення похідної функції у = f(x) в точці xo дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції в точці з абсцисою xo : f'(xo) = k = tg α (рис. 26)

Розглянемо функцію у = f(x). Її графік зображено на рис. 26.

У точці М(xo;yo) проведено дотичну до кривої у=f(x). Складемо рівняння дотичної AM, знаючи координати точки М(xo;yo) дотику і рівняння у = f(x) кривої. Дотична — це пряма. Рівняння будь-якої прямої має вигляд: у = kx + b. Оскільки k = f'(xo), тому рівняння дотичної має вигляд:

у = f'(xo)x + b.              (1)

Знайдемо b, виходячи з того, що дотична проходить через точку М(xo;yo) і тому її координати задовольняють рівнянню дотичної:

уо = f ‘(хo) · хo + b, звідси b = уo – f ‘(xo) · xo.

Тепер підставимо значення b в рівняння (1) дотичної і одержимо:

у = f ‘(xo) ·x + уо – f ‘(xo) · xo            y – yо = f ‘(xо )(x – xo

Отже, рівняння дотичної до кривої у = f(x) в точці М(xo; уo) має вигляд:

y – yо = f ‘(xo)(x – xo).          (2)

Рівняння дотичної до кривої у = f(x) у заданій точці xo можна знаходити за таким планом (схемою):

1. Записуємо рівняння (2) дотичної: y – yо = f ‘(xo)(x – xo).

2. Знаходимо уo = f(xo

3. Знаходимо значення f ‘(x) у точці xo: f ‘(xo).

4. Підставляємо значення xo,
yo і f ‘(xo) y рівняння (2).

Приклад 1. Складіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 в точці xo = 1. Виконайте схематичний рисунок.

Розв’язання

1.       y – yо = f ‘(xo)(x – xo) — рівняння шуканої дотичної.

2.       уo= 12 4·1 = 1 – 4 = – 3. 3. f=2x-4.

  4. Підставляємо значення xo = 1, yo = –3, f'(xo) = –2 у рівняння дотичної:

y + 3 = –2(x – 1), або у = – 3 – 2x + 2, або y = –1 – 2х .

VІІ. Розв’язування тренувальних вправ.

Вправи розв’язуємо колективно.

№ 7.13

Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції якщо ця дотична паралельна прямій

Розв’язання.


Маємо:


Якщо дотична паралельна прямій y=-2x+4, то її кутовий коефіцієнт kдорівнює -2.

Оскільки , де – абсцис точки дотику шуканої прямої до графіка функції , то тобто Звідси




Отже, на графіку функції є дві точки, дотичні в яких паралельні даній прямій.

При маємо: Тоді рівняння дотичної має вигляд y=-2(x-6)+5$ y=-2+17.

При отримуємо: Тоді рівняння дотичної має вигляд y=-2(x-2)-3;

y=-2x+1.
Відповідь: y=-2(x-2)-3; y=-2x+1.
№ 7.22

Знайдіть абсцису точки графіка функції у якій проведена до нього дотична утворює з доданим напрямком осі

Знайдіть абсцису точки графіка функції у якій проведена до нього дотична утворює з додатним напрямом осі абсцис кут .

Розв’язання.

Маємо:


Оскільки дотична утворює кут з додатним напрямком осі абсцис, то її кутовий коефіцієнт k дорівнює tg , тобто k=1. Нехай x0 – абсциса точки дотику. Тоді Отримуємо Звідси 2x0-1=1; x0=1.

Відповідь: 1.

VІІІ. Підведення підсумків уроку.

На сьогоднішньому уроці я зумів (ла) ….

мені сподобалося…..

я навчився(лася)….

для мене незрозумілим є….

ІХ. Завдання додому.

п. 7 № 7.9., 7.15., 7.23 (3.4)


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

УРОК 6 (63.6 KiB, Завантажень: 84)

завантаження...
WordPress: 22.85MB | MySQL:26 | 0,329sec