ПІДСУМОВУВАННЯ РЯДУ ФУР’Є МЕТОДОМ СЕРЕДНІХ АРИФМЕТИЧНИХ

Нехай дано ряд


                (1)                        

    

Позначимо через
відповідно частили суми і середні арифметичні частинних сум ряду (1):


    ‘

Якщо послідовність {} збігається до числа S, то кажуть, що ряд (1) підсумовується до числа

 

                             (2)

методом середніх арифметичних, а число S при цьому називають

узагальненою сумою ряду (1).

Розглянемо ряд    


Для цього ряду

 


 

Якщо     ,то

 


тому =

 

Таким чином, ряд розбігається і, отже, не має звичайної

суми, однак він підсумовується методом середніх арифметичних до

числаS=що є його узагальненою сумою.

Зрозуміло, не кожний розбіжний ряд підсумовується методом середніх арифметичних. Однак кожний ряд, збіжний до числа Sпідсумовується і методом середніх арифметичних до цього числа S.

Теорема 1. Якщо ряд (1) збігається до числа S то він підсумовується методом середніх арифметичних до цього числа S

 

Доведення. Нехай. Задамося числом > 0. Для

числа > 0 існує номер N такий, що для п> N

Як що п >N , то

 

 


Оскільки то для числа > 0 існує номер

> N такий, що для n>


Для n> маємо

<, тобто


 

Теорему доведено.


У цьому параграфі розглянемо питання, що :стосуються підсумовування ряду Фур’є методом середніх арифметичних. Питання ж збіжності цього ряду , більш складні порівняно з відповідними питаннями його підсумовування, розглянемо в наступному параграфі

Теорема 2. Нехай – періодична функція, інтегровна на відрізку Ряд Фур’є цієї функції підсумовується методом середніх арифметичних до в кожній точці х, у якій функція

неперервна, і дов кожній точці х, в якій функція має розрив першого роду.

Доведення. Якщо в точці х0
функція неперервна, то в цій точці

Тому нам досить довести рівність


в кожній точці в якій функція має праву і ліву
скінченну границі.

формул (8) і (10) § 2 маємо

Задамося числом > 0. Тоді для числа > 0 знайдеться число > 0 таке, що для 0 < и < правильні нерівності    

                             (5)

                                (6)

Оскільки функція інтегровна на відрізку , то вона обмежена на цьому відрізку. Внаслідок періодичності цієї функції вона буде обмежена на всій числовій прямій:

                 (7)

Заради простоти запису введемо позначення


З рівності (4), використовуючи спочатку нерівності (5)- (7), а також рівність (10) § 2 і нерівність

 

                            (9)

дістанемо

 

якщо


Цим рівність (3) і теорема доведені. З теорем 1 і 2 випливає ряд наслідків.

Наслідок 1. Якщо ряд Фур’є 2періодичної функції , інтегровної на відрізку , збігається в точці , в якій функція неперервна, то його сума в цій точці неодмінно дорівнює .

Функція
називається кусково-неперервною на відрізку, якщо вона на цьому відрізку неперервна, за винятком, можливо, скінченного числа точок, які є точний розриву першого роду Внаслідок теореми кусково – неперервна функція на відрізку інтегровна на цьому відрізку. Якщо функція інтегровна на відрізку
, то функція , відмінна від функції лише в скінченному числі точок цього відрізка , також інтегровна на відрізку , причому інтеграли від цих функцій по цьому відрізку рівні між собою .

Оскільки коефіцієнти Фур’є виражаються через інтеграли, то ряди Фур’є двох функцій, відмінних лише в скінченному числі точок відрізка , збігаються. Тому значення .кусково-неперервної функції в її точці розриву першого роду, природно вважати такими, що дорівнюють середньому арифметичному її правої і лівої границь у цій точці. При такій умові можна сформулювати наступні твердження.

 

Наслідок 2. Ряд Фур’є – періодичної функції , кусково-неперервної на відрізку ,- підсумовується методом середніх арифметичних до функції скрізь на числовій прямій.

Наслідок 3. Якщо ряд Фур’є – періодичної функції, кусково-неперервної на відрізку , збігається на всій числовій прямій, то його сума неодмінно дорівнює на всій цій прямій.

Теорема ( Фейера ) . Якщо є – періодична функція, неперервна на всій числовій прямій, то ряд Фур’є цієї функції підсумовується до методом середніх арифметичних рівномірно на всій цій прямій, тобто для числа існує номер N ( ), не залежний від х і такий, що при п > N () правильна нерівність


для всіх x

Доведення. Задамося числом . Оскільки функція неперервна на відрізку , то за теоремою Кантора, вона рівномірно неперервна на цьому відрізку. Для числа > 0 існує число > 0, яке не залежить від х і таке, що

    (10)

для і, .

Внаслідок того, що функція є
– періодична і неперервна на всій числовій прямій, нерівність (10) виконуватиметься для будь-якого x
. Використовуючи рівності (7) і (9) §2, нерівності (7), (9) і (10) і позначення (8), знайдемо




якщо    

Оскільки число N = не залежить від x; і оскільки

при п>N

для всіх x
то збігається до рівномірно на всій числовій прямій. Теорему доведено.

Як наслідок теореми 3 дістаємо наступну теорему Вейєрштрасса про рівномірне наближення тригонометричними поліномами – періодичної функції , неперервної на всій числовій прямій.

Теорема 4 ( Вейєрштрасса ) Якщо є – періодична функція, неперервна на всій числовій прямій, то для будь-якого числа існує тригонометричний поліном


    

такий, що    



для всіх x

Дійсно, за теоремою 3, для числа
існує номер N, не залежний від х і такий, що при

п > N правильна нерівність

    (12)

для всіх x .Оскільки є тригонометричний поліном, то, взявши за Т (х) поліном при п > N , з (12) дістанемо (11).

Теорему. доведено.

Не всяку – періодичну функцій неперервну на всій числовій прямій, можна зобразити на цій прямій у вигляді суми її ряду Фур’є . Однак правильна наступна теорема, яка є по суті перефразуванням теореми 4.

Теорема 5 (Вейєрштрасса). Всяку – періодичну функцію ,неперервну на всій числовій прямій, можна зобразити у вигляді суми ряду тригонометричних поліномів , рівномірно збіжного до на цій прямій.

Доведення.

Задамося послідовністю чисел .За теоремою 4, для числа існує тригонометричний поліном


такий, що    

    (13)

для всіх x

Позначивши через
п – у частинну суму ряду

    (14)

дістанемо

Звідси і з (13) маємо


для всіх x . Отже,рівномірно відносно x


тобто

    

причому останній ряд збігається до рівномірно на всій числовій прямій.

завантаження...
WordPress: 22.86MB | MySQL:26 | 0,357sec