Підсумковий урок

Урок 24-25

Тема. Підсумковий урок.

Задачі, пов’язані із застосуванням похідної.

Мета. Познайомити учнів із різними типами прикладних задач та методами їх розв’язування за допомогою похідної; формувати уміння застосовувати знання та способи дій у змінених і нових навчальних ситуаціях; поглибити знання учнів про моделювання процесів дійсності за допомогою апарата похідної;

розвивати пізнавальний інтерес, навички колективної праці;

виховувати працьовитість, зібраність, організованість, увагу, відповідальність та вимогливість до себе.

Методи і прийоми навчання. Картка-самоконтролю, мозковий штурм, тест-контроль, робота в групах, метод»мікрофон»

 

Хід уроку.

І. Організаційна частина. Формування робочого настрою.

ІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Дорогі діти ! Дуже хочу, щоб ви пам’ятали слова « Будь – яка наука досягає вершин лише тоді, коли вона користується математикою» К. Маркс

Ви вивчили одне із фундаментальних понять алгебри і початків аналізу – похідну. І дуже часто даєте собі запитання « А навіщо?»

На попередніх уроках ви познайомились із застосуванням похідної для дослідження та побудови графіків функцій, знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку.

А на сьогоднішньому уроці ви дізнаєтесь, як за допомогою похідної можна розв’язувати цікаві задачі прикладного характеру в різних сферах.

ІІІ. Актуалізація опорних знань.


( у кожного учня є картка самоконтролю, де він за участь у кожному етапі уроку виставляє собі оцінку

  • Для того, щоб приступити до вивчення сьогоднішньої теми необхідно повторити теоретичний матеріал.

    Проведемо його у формі « Мозкового штурму»

  1. Дайте означення похідної функції в точці.
  2. У чому полягає геометричний зміст похідної?
  3. У чому полягає механічний зміст похідної ?
  4. Що таке кутовий коефіцієнт прямої? Чому він дорівнює ?
  5. Як знайти похідну суми, добутку, частки, складеної функції ?
  6. Назвіть схему дослідження функції для побудови її графіка.
  7. Як знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку?

    Робота учнів на індивідуальних картках у тестовій формі ( правильну відповідь показують за допомогою сигнальних карток, кожна відповідь – 0,5б)

     

    Функція Похідна оцінка
    1 А); Б); В) ; Г) інша відповідь  


    2 (x)= A) cos 2x ; Б)2 cosx; В)-cos2x ;

    Г) інша відповідь

    3 (x)=3x2-5x+6 А)5х-5; Б) 6х2-5; В) 6х-5;

    Г) інша відповідь

    4 f(x)=ctg2x A); Б)-; В);

    Г) інша відповідь

    5 (x)=x A) ; Б) ; В); Г) інша відповідь
    6 (x)=sinx-cosx A) –sinx +cosx ; Б) cosx + sinx ; В)0;

    Г) інша відповідь .

    7 (x)= (3x+2)50 A) 150(3x+2)49 ; Б)50(3x+2)49 ; В)150x;

    Г) інша відповідь

    8 (x)= 5x A) x5x ; Б) 5xln5; В)5; Г) інша відповідь
    9 (x)= e3-2x A) e3-2x ; Б)-2
    e3-2x ; В) 2e3-2x ;

    Г) інша відповідь

    10 (x)= A) ; Б) 2; В);

    Г) інша відповідь.

    11 (x)=cos3x A) -3cos2xsinx; Б) sin3x; В)3cosx;

    Г) інша відповідь

    12 (x)=log2х A) ; Б) 2lnx ; В) ;

    Г) інша відповідь

     

    Підводиться підсумок цього етапу уроку

  • Таким чином ви повторили весь теоретичний матеріал, щоб сприймати інформацію, яку підготували ваші друзі.

    Зазделегідь ви об’єдналися у 4 групи: «Історики», «Пошук», «Знавці», «Ентузіасти». Кожна група одержала завдання: опрацювати додаткову літературу, довідники, Інтернет та знайти у різних сферах задачі прикладного характеру, а також історичний матеріал щодо походження похідної. Працювали ви за певним планом. До кожної групи входили учні – теоретики та учні – практики . Зібраний матеріал ви оформили у вигляді презентацій. Теоретики (4 учні ) захищають свої презентації, а практики (4 учні ) розв’язують одну задачу на вибір біля дошки.

    ІV. Сприймання і засвоєння нових знань

    МАТЕРІАЛ ГРУПИ « ІСТОРИКИ»

    Нашій групі « Історики» було доручено з’ясувати, хто із вчених і коли ввів поняття «похідної»

    Працюючи над проектом «Історія виникнення похідної» ми зрозуміли що, слова Є.С.Полата « Разом навчатися не тільки легше й цікавіше, але й значно ефективніше» цілком правдиві.

    Переконані що, похідна – одне з фундаментальних понять математики.

    Відкриттю похідної та основ диференціального числення передували роботи французьких математиків П’єра Ферма (1601-1665), який у 1629 р. запропонував способи знаходження найбільших і найменших значень функцій, проведення дотичних до довільних кривих, що фактично спиралися на застосування похідних, а також Рене Декарта (1596-1650), який розробив метод координат і основи аналітичної геометрії. У 1670-1671рр. англійський математик і механік Ісаак Ньютон (1643-1727) і дещо пізніше у 1673-1675 рр. німецький філософ і математик Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646 – 1716 ) незалежно один від одного побудували теорію диференціального числення .

    І. Ньютон прийшов до поняття похідної, розв’язуючи задачі про миттєву швидкість, а Лейбніц – розглядаючи геометричну задачу про проведення дотичної до кривої.

    Термін «похідна» ввів у 1797 р. французький математик Жозеф Луї Лагранж (1736 – 1813 ). Він ввів і сучасні позначення для похідної у вигляді y/ та f/ . До Лагранжа похідну за пропозицією Лейбніца називали диференціальним коефіцієнтом і позначали .


    Велику роль у розвитку диференціального числення відіграв видатний математик, фізик, механік і астроном Леонард Ейлер, який написав підручник

    « Диференціальне числення» (1755 р.).

    За допомогою диференціального числення було розв’язано багато задач теоретичної механіки, фізики, астрономії. Зокрема , використовуючи методи диференціального числення , вчені передбачили повернення комети Галлея, що стало тріумфом науки XVIII ст.

    За допомогою цих методів математики у
    XVIII ст. вивчали властивості різних кривих, знайшли криву, по якій найшвидше падає матеріальна точка, навчилися знаходити кривину ліній.

    І тепер поняття похідної широко застосовується у різних галузях науки та техніки.

    Ці задачі не прості:

    Застосуєш їх в житті.

    Ну а щоб їх розв’язати –

    Похідну слід добре знати.


        МАТЕРІАЛ ГРУПИ « ПОШУК»

    До групи « Пошук» входили 4 учні. Працювали під девізом « Математику не можна вивчати, спостерігаючи, як це робить сусід»

    Нашій групі було доручено знайти задачі з фізики, які розв’язуються за допомогою похідної.

    Серед них ми знайшли найбільш характерні:

    Знаходження:

  • швидкості та прискорення прямолінійного руху тіла чи матеріальної точки;
  • кутової швидкості тіла обертання ;
  • швидкості зростання маси кристалів;
  • швидкості зміни температури під час нагрівання;
  • визначення освітленості електричної лампочки.

    Розглянемо способи розв’язування таких задач.

    Задача 1

    Швидкість v тіла, що рухається у вертикальному напрямку, змінюється за законом v= 9 – 10t (м/с). Визначити швидкість тіла в момент приземлення, якщо воно в початковий момент знаходилось на висоті 2 м від землі.

    Розв’язання

  1. Знайдемо прискорення тіла, що рухається за даним законом

    a = v/ ( t) = – 10 ( м/с2 );

    Оскільки прискорення стале, то тіло рухається за квадратичним законом:

    h = .

    2) v0 = v(0) =9-10 х 0 = 9 (м/с )

    3) Підставимо у формулу а та v0

    h =

    Розв’язавши квадратне рівняння, одержимо час приземлення тіла t= 2с та швидкість в момент приземлення v = 9- 10 х 2 = – 11 (м/с )


    Задача 2

    Посудина з вертикальною стінкою і висотою h стоїть на горизонтальній площині. На якій глибині треба розмісти отвір, щоб дальність вильоту води з отвору була найбільшою ( швидкість рідини, що витікає, за законом Торрічеллі дорівнює , де x – глибина розміщення отвору, g – прискорення вільного падіння ) ?



     


     


     

     



     

    Розв’язання

    Позначимо через H відстань отвору в посудині від горизонтальної площини, а через L –відстань точки А від стінки посудини. Тоді L= vt, де t – час польоту води від отвору до площини ( в точку А ).

    З курсу фізики відомо, що


            або .

    Тоді

    , 0 x h.

    Знайдемо похідну L / (x) = .

    Розв’язуючи рівняння , знаходимо стаціонарну точку .

    Оскільки це єдина стаціонарна точка, то вона й буде шуканою.

        МАТЕРІАЛ ГРУПИ «ЗНАВЦІ»

    Група «Знавці» в складі 4-х осіб працювала під девізом « Усе, що я пізнаю, я знаю, для чого це мені потрібно, де і як я можу ці знання застосувати.»

    В. Кильпатрик

    Опрацювавши довідкову літературу, підручники ми познайомилися із задачами, які зустрічаються в економіці.

    Серед них найбільш характерні:

  • визначення загальної вартості утримання різних видів транспорту;
  • визначення продуктивності праці;
  • визначення попиту товарів, зміну доходів при збільшенні ціни;
  • визначення затрат підприємств залежно від об’єму продукції, яка випускається;
  • знаходження оптимальних розмірів продукції з найбільшим

    ( найменшим ) об’ємом (площею)

    Задача 1

    Вартість ( за годину) утримання баржі складається з двох частин: вартості палива, яка пропорційна кубу швидкості баржі, і вартості амортизації баржі ( заробітна плата команди, обладнання та ін.). Загальна вартість утримання баржі за годину, таким чином, виразиться формулою , де v – швидкість судна в км/год; a і b – коефіцієнти, задані для кожного судна. Визначити, при якому v загальна сума утримання на 1 км шляху буде найменшою, якщо a = 0,005, b = 40.

    Розв’язання

    . За умовою a = 0,005, b = 40, тоді .

    1 км шляху баржа пройде за год. За цей час витрати складуть


    , (0;).

    Треба знайти найменше значення функції на проміжку (0;).

     

    S/ ( v )=0,01v ; S/ ( v )= 0, якщо 0,01v=0; 0,01v3= 40; v3=4000;

    v= 10 . Оскільки, S/ ( v )= 0,    безперервна на проміжку (0;) і


    v= 10 одна стаціонарна точка, то вона є точкою мінімуму, бо

    S// ( 10 )0. v= 10 =101,6=16 ( км /год ).

    Відповідь: 16 км/год

     

    Задача 2

    Об’єм продукції u, яку виробляє бригада робітників, описується рівнянням

    (од.), 1, де t – робочий час в годинах. Обчислити продуктивність праці , швидкість і темп її зміни через час після початку роботи і за час до її закінчення.

    Розв’язання

    Продуктивність праці виражається похідною

    z (t) = u/ (t) = –( од./год.), а швидкість і темп зміни продуктивності – відповідно похідною z/ (t) і похідною логарифмічної функції

    z/ (t) = -5t + 15 (од./год 2),

     

    ( од./год.)

    У задані моменти часу і відповідно маємо:

    z ( 1) = 112,5 (од/год), z/ (1) = 10 (од./год2 ), T( 1)= 0,09 (од./год) і

    z(7) =82,5 (од./год.), z/ (7) = -20 (од./год2 ), T(7)= – 0,24 (од/год)

    Таким чином, до кінця роботи продуктивність праці суттєво знижується, при цьому зміна знаку z/ (t) і T( t )з плюса на мінус свідчить про те, що збільшення продуктивності праці у першу годину робочого дня змінюється її пониженням в останню годину.


    Задача 3

    Дано прямокутний лист жерсті розміром 80 х 50 см. Треба виготовити з нього відкриту зверху коробку найбільшої місткості, вирізавши по кутах квадрати і загнувши краї. Якою повинна бути довжина сторони такого квадрата?

    Розв’язання    

     


    Позначимо через х довжину сторони квадрата, що вирізується. Очевидно, що 0
    х
    25. Об’єм коробки ( прямокутного паралелепіпеда ) дорівнює добутку площі основи на висоту. При зазначеному способі виготовлення коробки основа її – прямокутник із сторонами 80-2х і 50 – 2х, а висота х;. відповідно об’єм коробки становить: V (x )= ( 80-2x ) (50-2x) x = 4x3-260x2+ 4000x

    Задача звелась до знаходження найбільшого значення функції на проміжку [0; 25] Знайдемо критичні точки V/ (x )= ( 4x3-260x2+ 4000x )/ =12х2-520х + 4000

    12х2-520х + 4000=0; х = і х = 10. Інших критичних точок функція не має,

    бо похідна існує для всіх х.

    Проміжку [ 0;25] належить лише одна точка х=10. Обчислимо значення

    V (x ) у цій точці і на кінцях проміжку:

    V (10 ) = 4 103-260 102+ 4000=1800; V (0 ) = 0;

     

    V (25 ) = 4 253-260 252+ 4000 25=0

    Отже, найбільшого значення функція V (x ) досягає на проміжку [0; 25]

    у точці 10. Це означає, що коробку найбільшого об’єму можна виготовити, вирізавши по кутах даного листа жерсті квадрати із стороною 10 см.

     

     

    МАТЕРІАЛ ГРУПИ « ЕНТУЗІАСТИ»

    Учасники групи « Ентузіасти» переконалися у справедливості слів Р. Декарта

    « Недостатньо лише мати гарний розум, головне – це добре застосувати його».    Ми одержали завдання: знайти цікаві задачі з математики, які розв’язуються за допомогою похідної. Опрацювали, в першу чергу підручники, за якими навчаємось, а потім підручники для поглибленого вивчення математики. Зрозуміли , що без поняття похідної як без зброї.

    Виявили найхарактерніші задачі:

    – дослідження та побудова графіків функцій;

  • знаходження найбільшого та найменшого значення функції на відрізку;
  • розв’язування рівнянь ;
  • доведення нерівностей;

    – розв’язування завдань з параметрами;

  • наближені обчислення .

    Ми добре володіємо навичками дослідження та побудови графіків функцій за допомогою похідної за такою схемою:

  1. Знайти область визначення функції.
  2. Дослідити на парність ( непарність ), періодичність.
  3. Знайти точки перетину з осями координат.
  4. Знайти асимптоти графіка функції , якщо вони існують.
  5. Знайти похідну й критичні точки.
  6. Знайти проміжки монотонності й точки екстремуму.
  7. Якщо необхідно, знайти координати додаткових точок, щоб уточнити поведінку графіка функції.
  8. На основі проведеного дослідження побудувати графік функції.

    Тому не будемо зупинятись на такому виді задач.

     

    Приклади розв’язування рівнянь

    1. Розв’яжіть рівняння 3х + 32-х = 3 ( 1+ cos 2)

    Оскільки у нас немає формул, які б дозволяли перетворювати одночасно і показникові, і тригонометричні вирази, то спробуємо розв’язати задане рівняння, використовуючи властивості відповідних функцій, зокрема, спробуємо оцінити область значень функцій, які стоять у лівій і правій частинах рівняння. Для функції, яка стоїть у правій частині рівняння, це легко зробити і без похідної, а для дослідження функції, що стоїть у лівій частині рівняння, зручно використати похідну.

    ОДЗ заданого рівняння – усі дійсні числа R. Оцінимо ліву і праву частини рівняння. Оскільки cos 2х набуває всіх значень від (-1) до 1, то

    1+ cos 2х набуває всіх значень від 0 до 2. Тоді функція g(x)= 3 ( 1+ cos 2х)

    набуває всіх значень від 0 до 6. Отже,.

    Функцію дослідимо за допомогою похідної..

    існує на всій області визначення функції.

     

    (х)=0; . Оскільки 0, то ; ;

    2x-2=0, х=1- критична точка. Відмічаємо критичну точку на області визначення і заходимо знак похідної в кожному проміжку.

     

     


     

    Неперервна функція має тільки одну критичну точку, і це точка мінімуму (у ній похідна змінює знак з мінуса на плюс). Тоді в цій точці функція набуває свого найменшого значення: f(x)=6. Отже, f(x) 6.

    Враховуючи, що g(x), одержуємо, що задане рівняння f(x)=g(x) рівносильне системі f(x)=6,

    g(x)=6. Але значення 6 функція f(x) набуває тільки при х=1, що задовольняє і другому рівнянню системи ( g(1)=3(1+cos2)=6. Отже, одержана система ( а значить, і задане рівняння) має єдиний розв’язок х=1.

    Відповідь: 1.

    Приклад застосування похідної для доведення нерівностей

    Щоб довести нерівність виду (або ) за допомогою похідної використовують схему:

    1.Розглянути допоміжну функцію (на її області визначення або на заданому проміжку )

    2.Дослідити за допомогою похідної поведінку функції (зростання чи спадання або її найбільше чи найменше значення) на розглянутому проміжку.

    3. Обгрунтувати ( спираючись на поведінку функції ), що 0 (або0 ) на розглянутому проміжку, і зробити висновок, що

    ( або ) на цьому проміжку.

    Довести, що для всіх 0.

    Розв’язання

    Розглянемо функцію .

    для всіх . Отже, зростає на R. Якщо 0, то , тобто або .


    Поняття похідної можна використовувати під час наближених обчислень, коли провести такі міркування :

    Нехай, наприклад, треба обчислити наближене значення функції

    в точці . Значення у близькій до 2,02 точці х0=2

    Знаходимо легко: . Графік в околі точки 2 близький до прямої

    – дотичної до нього в точці з абсцисою 2. Тому . Маємо     і

        . Обчислення на калькуляторі дають результат 14,57995

    За допомогою формули      (1)

    можна обчислювати квадратні корені та степені. З формули (1)

    можна вивести наближені формули та .

    Користуючись ними знайдемо 1,001100=(1+0,01)100≈1+100 * 0,01=1,1

    VІІ. Підсумок уроку

    Підсумок уроку проводиться у формі інтерактивної гри «Мікрофон».

    Уявіть собі, що до вас завітав журналіст газети «Шкільні новини», який хоче написати, що нового і цікавого ви дізналися на уроці. Прохання дати відповіді на такі запитання, тримаючи в руках перехідний мікрофон.

    1.Над якою темою працювали на уроці?

    2.Що нового дізналися при вивченні даної теми?

    3. Чого навчилися, готуючи матеріал?

    4. Що складного було на уроці?

    5.Чим запам’ятався урок?

    6.Де зможете застосувати одержану інформацію?


    Оцінювання роботи учнів на уроці за картками самоконтролю

    VIII. Завдання додому

    Повторити теоретичний матеріал, готуватися до контрольної роботи.

    Завдання в тестові й формі ст. 150-152

    КАРТКА

    самоконтролю учня 11 класу __________________________

     

    Макс. кільк.балів

    Отримав

    балів

    Вид діяльності

    Вид завдання

    Форма роботи

    1

    1 б (за 1відп)

    0 б

    -1 б

    Відповідь точна, швидка

    Неточна відповідь

    Перебиває інших

    Усна відповідь

    Мозковий

    штурм

    2

    6 б

    (0,5 б за 1відп.)

    0 б

    -1б

    Розв’язав правильно

    Допускав помилки

    Розв’язав неправильно

    Тестова перевірка

    фронтальна


    3

    4 б

    4 б

    1 б

    Захист презентацій (теоретик)

    Захист презентацій

    (практик)

    Збір інформації

    Захист презентацій

    Групова

    3

    1 б

    Обговорення уроку

    Усна відповідь

    фронтальна


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 24 (215.2 KiB, Завантажень: 49)

завантаження...
WordPress: 22.94MB | MySQL:26 | 0,343sec