Первісна. Таблиця первісних. Невизначений інтеграл

Урок 1.

Тема. Первісна. Таблиця первісних. Невизначений інтеграл.

Мета. Формування поняття первісної функції та поняття невизначеного

інтегралу, засвоєння учнями таблиці первісних, розвиток навичок застосування таблиці до обчислення усних та письмових вправ, розвивати логічне мислення , виховувати інтерес до точних дисциплін.

Тип уроку. Урок пояснення нового матеріалу.

Обладнання: дидактичний матеріал.

Методи та прийоми навчання:
метод «Адвокати», гра «Фраза», колективна та індивідуальна форми роботи.

Хід уроку

І. Організаційна частина уроку.

На цьому етапі уроку слід надати учням інформацію про:

– орієнтовний план вивчення теми;

– кількість навчальних годин;

– приблизний зміст матеріалу;

– основні вимоги до знань та вмінь учнів;

– приблизний зміст завдань, що будуть винесені на контрольну роботу.

ІІ. Аналіз контрольної роботи.

Під час аналізу наголосити на типових помилках, допущених під час виконання контрольної роботи, Звернути увагу учнів на правильні шляхи розв’язання завдань, ще раз наголосити на тому матеріалі, який треба пам’ятати з попередньої теми.

ІІІ. Мотивація навчальної діяльності.

Під час вивчення шкільного курсу математики вам завжди наголошувалося на тому, що всі теми мають між собою логічний зв’язок. Тобто без ґрунтовних знань з попередньої теми неможливо добре засвоїти нову . А ще, давайте згадаємо про математичні дії, які ви навчилися виконувати. Що ви знаєте цікавого про математичні дії? Так, звичайно, кожна дія має до себе обернену. Наприклад: до дії додавання оберненою є дія віднімання, до множення – ділення і т. д. Давайте згадаємо як же ми називаємо функцію, що має похідну на деякому проміжку? Так, диференційованою. Отже, обчислення похідної це диференціювання. Як ви думаєте, чи існує дія, обернена до диференціювання? Де вона застосовується? Щоб детально про це взнати, ми сьогодні розпочнемо вивчати тему «Первісна та її застосування». Під час вивчення цієї теми ви ще раз переконаєтесь про взаємозв’язок математичних дій, вивчите властивості ще однієї, та навчитесь застосовувати її до розв’язування вправ та задач. Отже, вперед до нових вершин математичної науки!

ІV. Сприймання та усвідомлення учнями нової теми.

При вивченні теми «Похідна» ми розв’язували задачу про знаходження швидкості прамолінійного руху по заданному закону зміни координати s(t) матеріальної точки. Миттєва швидкість v(t) дорівнює похідній функції s(t), тобто v(t) = s'(t).

У практиці зустрічається обернена задача: по заданій швидкості v(t) руху точки знайти пройдений нею шлях s(t), тобто знайти таку функцію s(t), похідна якої дорівнює v(t). Функцію s(t) таку, що s'(t) = v(t), називають первісною функцією v(t). Наприклад, якщо є первісною функції v(t), оскільки s'(t) = = = gt = v(t).


Наприклад, функція F(x) = sin x є первісною функції f(x) = cos x для x R, бо (sin x)’ = cos x; функція F(x) = tg х є первісною функції f(x) = , бо F(x) = (tg x)’ = = f(x) для всіх х, крім х = + n, nZ.

Робота з підручником.

Метод «Адвокати». Учні читають параграф у підручнику та готують запитання сусідові по парті. Потім запитують один одного та відповідають.

Виконання вправ на засвоєння первісної

Покажіть що функція F(x) є первісною функції f(x) для вказаних значень х:

  1. F(x) = kx, f(x) = k, x R.
  2. F(x) = , f(x) = xn, x (0; + ), n -1.
  3. F(x) = ln , f(x) = , x 0.
  4. F(x) = ex , f(x) = ex, x R.
  5. F(x) = , f(x) = ax, x R.
  6. F(x) = – cos x, f(x) = sin x, x R.
  7. F(x) = – ctg x, f(x) = , x .

V.Сприймання і усвідомлення основної властивості первісної, поняття невизначеного інтеграла.

Розглянемо функцію f(x) = x2. Доведемо що функція F1(x) = , F2(x) = , F3(x) = є первісними функції f(x).

Дійсно, F’1(x) = = =х2 = f(x),

F’2(x) =()’ = x2 + 0 = x2 = f(x),

F’3(x) = = x2 – 0 = x2 = f(x).

Взагалі будь-яка функція F(x) = + С, де С – постійна, є первісною функції х2. Це випливає з того, що похідна постійної дорівнює нулю.

Цей приклад свідчить, що для заданої функції первісна визначається неоднозначно.

Теорема 1.

Доведення

 

 

Оскільки F(x) – первісна функції f(x), то F'(x) = f(x).

Тоді (F(x) +C)’ = F'(x) + C’ = f(x) + 0 = f(x), а ця рівність означає, що F(x) + C є первісною для функції f(x).

 

Теорема 2.

 

 

Доведення

Нехай F(x) i F1(x) – дві первісні однієї і тієї самої функції f(x), тобто F'(x) = f(x), F1‘(x) = f(x). Прохідна різниця g(x) = F1(x) – F(x) дорівнює 0, оскільки g'(x) = F1‘(x) – F'(x) = f(x) – f(x) = 0.

Якщо g'(x) = 0 на деякому проміжку, то дотична до графіка функції у=g(x) у кожній точці цього проміжку параллельна осі ОХ. Тому графіком функції у=g(x) є пряма, яка параллельна осі ОХ, тобто g(x) = C, де С деяка стала. Із рівностей g(x) = C, g(x) = F1(x) – F(x) випливає, що F1(x) – F(x) = С, або F1(x)= F(x) + С.

Теореми 1 і 2 виражають основне властивість первісної.

Основній властивості первісної можна надати геометричного змісту: графіки будь-яких двох первісних для функції f одержуються один із одного паралельним перенесенням вздовж осі OY (рис. 1)

y

y = F(x)




  1. x

(рис. 1)


 

 

З доведених теорем випливає що = F(x) + C, де F(x) – яка-небудь первісна для функції f(x) на даному проміжку, С – довільна стала ( її називають сталою інтегрування). Наприклад, функція sin x є первісною для функції cos x на проміжку (-), тому можна записати, що


VІ. Сприймання і усвідомлення таблиці первісних (таблиці невизначених інтегралів).

Користуючись таблицею похідних, можна скласти таблицю первісних (таблицю невизначених інтегралів) для функцій, похідні яких відомі. (таблиця 2).

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

Функція f(x)

Загальний вигляд первісних F(x) +C

Невизначений інтеграл

0

С

1

х + С

хn (n -1)

ln + C

= ln + C

sin x

-cos x + C

-cos x + C

cos x

sin x + C

sin x + C

tg x + C

= tg x + C

-ctg x + C

= -ctg x + C

ех

ех + C

= ех + C

ах

=

VII. Підведення підсумків уроку.

Гра «Фраза». Із набору слів скласти означення первісної та основну властивість первісної.

VIIІ. Домашнє завдання.

Опрацювати §24, вивчити означення та основну властивість первісної, вивчити таблицю первісних, та виконати вправу №24.2.


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 1 (30.8 KiB, Завантажень: 118)

завантаження...
WordPress: 22.93MB | MySQL:26 | 0,328sec