ПЕРШІ НЕРОЗВ’ЯЗНІ ЗАДАЧІ

  1. Піфагорійська школа
  2. Геометрична алгебра
  3. Александрійська школа (300 до н. е. – 640 н. е.)

2. Геометрична алгебра

Оскільки відношення сумірних величин, які визначають раціональні числа, є тільки частиною відношень величин, як сумірних, так і несумірних, стародавні греки стали вживати геометричні відношення — як представника загальних відношень величин. Геометричні величини найбільш зручні та наочні ^ для оперування ними. Інакше кажучи, грецькі математики стали будувати математику не на основі додатних раціональних чисел (ця основа виявилась недостатньою), а на основі геометрії, визначивши для геометричних величин усі арифметичні операції. В результаті було побудовано геометричну алгебру, яка і відповідала поки що стандартам строгості та загальності. Інструментами для побудови були лише циркуль і лінійка. Спочатку це уможливило обґрунтування деяких правил алгебри, знаходження методів розв’язування певних задач, але потім це стало перешкодою в розвитку математики, оскільки з’ясувалося, що не геометризація, а алгебраїзація є її перспективним шляхом розвитку. Проте в часи піфагорійців такої перспективи ще не передбачалось.

Об’єктами геометричної алгебри є відрізки, прямокутники та паралелепіпеди. Додавання відрізків здійснювалось їх послідовним прикладанням, віднімання — вилученням з більшого відрізка частини, рівної відрізку-від’ємнику. Відрізок ототожнювався з числом.

Добутком двох відрізків вважався побудований на них прямокутник, трьох відрізків — побудований на них паралелепіпед. Більшої розмірності добутки неможливі. Дія ділення виконувалась складніше. В геометричній алгебрі строго дотримувалися принципу однорідності: в обох частинах рівності мусили бути величини
однієї розмірності (відрізки, площі або об’єми), додавати також можна було лише величини однієї розмірності. Ділити можна було лише величини вищої розмірності на величини нижчої розмірності: об’єми — на площі, або відрізки, площі — лише на відрізки.

Отже, для піфагорійців дію ділення можна було розглядати як розв’язування рівнянь виду ах = b2
або ах = bd, а не рівняй-

Jinny»*-

Дія ділення розв язувалась за допомогою геометричної по-

лияови, яка називалася “прикладання площі до відрізка” оце. 6). На продовженні відрізка а розміщуємо (“прикладаємо”) пдоШУ Ь°- Потім проводимо ML || аА, MA \LC . У прямокут-ллку АМКВ проводимо діагональ MB до перетину з продовженням сторони LC. Тоді відрізок х — CD буде розв’язком рівняння ах■ в Ьс, що випливає з рівності прямокутників PABQ і KBCL. Замість рівняння ах ■— be можна розглядати рівняння ах = Ь2> оскільки греки вміли будувати квадрат, рівновеликий даному прямокутнику.


Рис. 6

Засобами геометричної алгебри можна розв’язувати квадратні рівняння. Покажемо це на прикладі рівняння ах — х2 + Ь2, Де заданими є два відрізки а і Ь; потрібно знайти відрізок х (рис. 7). Будуємо відрізок АВ = а, точкою С ділимо АВ пополам, проводимо в точці С перпендикуляр CD до АВ довжини Ь. Проводимо DE = АС — —. Одержаний відрізок ЕА = х буде розв’язком рівняння виду ах =» х2 + Ь2, що легко випливає з ADCE:

*. §-” –

2 а’

■ – ах + х’ ■ =; —

=> Ь2 + х2
= ах

■ – 6-1133

49



Рис. 7

Греки здійснювали таке доведення складнішим геометричнщ методом. За допомогою такого методу можна одержати лише один додатний корінь, і шоб задача мала розв’язок, потрібно було на ї дані накладати відповідні обмеження (діоризми).

Геометрична алгебра була продовженням вавілонської алгебри, де також добуток ab називали прямокутником, а2
— квадратом, тільки греки послідовніше переводили все на геометричну мову, хоча хід думки їх був алгебраїчним.

Основи геометричної алгебри буди закладені та розвинуті піфагорійцями, для яких мало значення точне знання, “діаго-н;иіь в самій своїй суті”, як говорить про це філософ Платон (427—347 до н. є.), а не допустиме приблизне значення. Іншої думки дотримувались математики Сходу: для них кожний відрізок, площа, об’єм були просто числами, які можна знаходиш або точно, або наближено. Це була практична точка зору, яку сповідували в усі часи інженери, землеміри, природодослідники. Знамениті задачі геометричної алгебри. У надрах геометричної алгебри виникло ряд задач на побудову за допомогою циркуля й лінійки,, які не вдавалось розв’язати і, як виявилося вже в J9 ст., вони в принципі не можуть бути розв’язані цими засобами. Нині вони правлять за приклад алгоритмічно иерозв’язу-ваних задач і глибокого зв’язку алгебри з геометрією. Найвідо-МШІИМИ були такі задачі: 1) квадратура круга — побудувати квадрат, який рівновеликий даному кругу; 2) подвоєння кубл (делоська задача) — побудувати куб, об’єм якого вдвічі більший за об’єм даного куба; 3) трисекція кута — розділити довільним кут на три рівні частини. Ці задачі, не маючи принциповою

значення, по-своєму стимулювали дальший розвиток ^тематики не тільки в стародавні часи, а й у новітній період.

Задача вимірювання площі круга у грецьких математиків ета-яідася у формі побудови квадрата, рівновеликого даному кругу. Це була найпопулярніша задача у стародавні часи. По суті вона зводилася до дослідження числа л . Грецький поет Арістофан в комедії “Птахи” говорить, що нині навіть птахи співають про квадратуру круга. Розглянемо кілька спроб розв’язання цієї задачі.

Антифон (II половина 5 ст. до н. є.) — тлумачник прикмет, епічний поет і софіст (“слововар”) — запропонував таке розв’язання. Вписати в коло який-небудь многокутник (трикутник, квадрат тощо), подвоїти число його сторін, потім подвоїти число сторін нового многокутника і т. д. Можливо, врешті-решт, одержати многокутник, який збігатиметься з колом. А для будь-якого многокутника можна побудувати рівновеликий йому квадрат. Звичайно, жодний вписаний многокутник не збігається з колом, але в уявній побудові Антифона позитивною була ідея граничного переходу.

Проблему квадратури круга намагався розв’язати видатний грецький математик Гіппократ Хіоський (II половина 5 ст. до н. є.) за допомогою криволінійних фігур — квадрованих серпків. Ідея полягала в тому, щоб показати, що є криволінійні фігури, для яких можна побудувати рівновеликий їм квадрат, квадрувати їх. Гіппократ побудував три види квадрованих серпків, радянський математик М. Г. Чоботарьов (1894—1947) побудував ще два види і довів, Що іішіих квадрсваних серпків не існує. Один із квадрованих серпків, побудованих Гіппократом, наведений на рис. 8.

Впишемо в коло радіуса а квадрат зі стороною АВ = a<Jl. На цій стороні, як на діаметрі, опишемо півколо АСВ. Утворена фігура ACBD є серпок, площа якого дорівнює площі Д ОАВ.

Справді: площа сектора OADB дорівнює S,


Рис. 8

oadb –

1
9

= —; площа сегмента ADB дорівнює ооЛОД =–

па

4~

2

50

51

4(*-2); площа півкруга АСВ дорівнює

*-л/Л2
па* ‘ ‘

, / –

-2- =->-• Зв«си 5-,гп=і!£__[^

Сторінка: 1 2 3
завантаження...
WordPress: 22.92MB | MySQL:26 | 0,392sec