ОЗНАЧ. І ВЛ. РАЦ СТЕПЕНЯ. ОЗНАЧЕННЯ ТА ІСНУВАННЯ СТЕПЕННЯ З ІРАЦ ПОКАЗНИКОМ. СТЕПЕНЕВА Ф-Я ТА ЇЇ ВЛ. СТЕПЕНЕВА Ф-Я В КОМПЛЕКСНІЙ ОБЛ

Озн. Нехай і , тоді розуміють


Озн. степенем числа з рац. показникам , де наз. число . Степінь числа 0 визначений тільки для додатних показників. .

Зауваж. Для – додатного і, число – додатне.

Зауваж.
рац. число можна записати по різному у вигляді дробу, оце , для , значення а також не залежить від форми запису рац. числа r. Справді

Вл:
-додатніх


Дов.

2);

3);

4);

5);

6) Нехай і , тоді , якщо і , якщо .

7) Для із неперервності , якщо і , якщо . 8).

Лема 1. Для , при



Дов.
(вл.8), тоді (за теор.) (озн. Гейне) – задов. вибраній умові ,
; . В силу обмеження
– сторонній корінь;

Лема2. Якщо показникову ф-ю розглядати як м-ну рац. чисел, то для всякого іррац.

Озн. Якщо -ірац. число, то під степенем числа з показником розуміють число                     
зростаюча і не перерв. тому для неї обернена    яка є зрост. і неперервною на .– обернена. Ф-я – теж є визначеною і зрост. на , як композиція зрост. ф-й ., . Крім того, ф-я є не перерв. на то і , як композиція неперервний ф-й є непер. на . Все це справедливо і при , але при цьому треба розглядати м-ну .

Озн. Ф-я задана ф-єю , на степеневою з показником степеня .

Якщо , то степенева ф-я визначена і для бо . При цілих степенева ф-я визначена і для . Для парних , ця ф-я парна, для непарних -непарна. Тому степеневу ф-ю достатньо
дослідити на .


ВЛ:

1) 2). 3)

Теор.
Степенева ф-я з додатнім показником є зростаючою і неперер. на . Якщо показник від’ємний то цей факт справедливий на і ф-я спадатиме.

В комплексній обл..


1) – однозначна

2)

3) , де . У цьому випадку ф-я є зліченою.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Rac Stepin (209.0 KiB, Завантажень: 0)

завантаження...
WordPress: 22.85MB | MySQL:26 | 0,516sec