Обчислення площ плоских фігур

Урок № 14

Тема. Обчислення площ плоских фігур

Мета. Сформувати вміння обчислювати площі плоских фігур за допомогою

визначеного інтеграла

 

Тип уроку: розв’язування ключових задач

Обладнання: картки

Щасливий той, хто в звичнім наче

побачив те, чого ніхто не бачив.

Дж. Г. Байрон

ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап

ІІ. Повторення попереднього матеріалу та перевірка домашнього завдання

Консультанти перевіряють й повідомляють результати

ІІІ. Актуалізація опорних знань

– Криволінійною трапецією є фігура, зображена на рисунку. Чому фігура не є криволінійною трапецією?


– Фронтальне опитування:

1. Запишіть формулу Ньютона – Лейбніца.

2. Який геометричний зміст інтеграла?

3. Назвіть основні властивості площ

4. Зобразіть схематично графіки функцій f ( x ) =- x2 – 2x + 8, g ( x ) = x2 + 2, h ( x ) = 5x – 2.

5. Як знайти координати точок перетину графіків двох функцій?

ІV. Мотивація навчальної діяльності

На попередньому уроці ми обчислювали площі криволінійних трапецій. Але на практиці часто доводиться обчисляти площі фігур, які не є криволінійними трапеціями.

V. Формування вмінь і навичок обчислювати площі

Якщо треба обчислити площу фігури, обмежену декілька ми лініями, то знаходять криволінійні трапеції, переріз або об’єднання яких є дана фігура, обчислюють площі кожної із них і знаходять різницю або суму площ цих криволінійних трапецій.

  1. Усне обговорення за малюнками:


 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

  1. Розглянемо різні випадки знаходження площ плоских фігур:

І. Якщо під час побудови фігури отримали фігуру виду


 

 

 

 

 

 

то її площу обчислюємо за формулою S = –

Завдання 1.Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої параболою у = х2 +2х – 3 і віссю ОХ.

Розв’язання.

1. Побудуємо параболу у = х2 +2х – 3. Знайдемо абсциси точок її перетину з віссю ОХ:

у = 0, у = х2 +2х – 3,



Знайдемо координати вершини параболи:

, у0 = f ( – 1 ) = 1 – 2 – 3 = -4.

Площа фігури, зображеної на рисунку, дорівнює:

S = ( кв. од. )

Відповідь. кв. од.

ІІ. Якщо під час побудови фігури отримали такий варіант,

 


 

 

 

 

 

то задану фігуру можна розбити на дві криволінійні трапеції АКтОВ і ВОпМС. Тоді площа фігури складається із суми площ криволінійних трапецій АКтОВ і ВОпМС.

S = +

Завдання 2. Обчислити площу плоскої фігури, обмеженої графіком функції та прямими х = – 2, у = 0 і графіком функції та прямими у = 0, х = 4.

Розв’язання

Побудуємо графіки заданих функцій.

– графіком є кубічна парабола, розташована у ІІ і ІV чвертях.

– графіком є вітка параболи, розташована в

І чверті.

Площа даної фігури складається із суми площ АКпD
DтСВ.

 

S = =

= ( кв. од )

Відповідь. ( кв. од )

ІІІ. Можна отримати й такий варіант фігури

 


 

 

 

 

 

 

Площа заштрихованої фігури дорівнює різниці площ криволінійних трапецій АВСD і АВСтD.

S = =

Завдання 3. Знайти площу фігури, обмеженої лініями у = 1 – х і у = 3 – 2х – х2.

Розв’язання

Зобразимо фігуру, площу якої будемо знаходити.

Графіком функції у = 1 – х є пряма.


х1 = 0, у1 = 1; х2 = 2, у2 = – 1.

Графіком функції у = 3 – 2х – х2 є парабола, вітки якої напрямлені вниз. Для побудови параболи знаходимо координати вершини параболи і координати точок перетину з віссю ОХ.

, у0 = 3 +2 – 1 = 4 . ( – 1; 4 ).

у = 0 , тоді 3 – 2х – х2 = 0; х1 = 1; х2 = – 3.

Знайдемо координати точок перетину параболи і прямої.

3 – 2х – х2 = 1 – х ; х2 + х – 2 = 0; х1 = 1; х2 = – 2.

Площа заштрихованої фігури шукаємо як різницю площ: від площі криволінійної трапеції АСтВ відняти площу криволінійної трапеції АВС.

S = 4,5 ( кв. од )

Відповідь. 4,5 ( кв. од ).

ІV. Інколи виходять такі плоскі фігури


 

 

 

 

 

 

 

 

Завдання 4. Обчислити площу фігури, обмежену лініями у = х2 – 6х + 8 і


у = – 2х2 + 12х – 16.

Розв’язання

Графіками даних функцій будуть параболи, вітки яких направлені вгору і вниз відповідно.

Вершина параболи у = х2 – 6х + 8 знаходиться в точці

( 3 ; – 1 ), а точки перетину параболи з віссю ОХ:

у = 0, х2 – 6х + 8 = 0; х1 = 2; х2 = 4.

Вершина параболи у = – 2х2 + 12х – 16 знаходиться в точці ( 3 ; 2 ), а точки перетину параболи з віссю ОХ:

у = 0, – 2х2 + 12х – 16 = 0; х1 = 2; х2 = 4.

Тоді площа заштрихованої фігури буде обчислюватися за формулою:

S =

= – 64 + 144 – 96 + 8 – 36 + 48 = 4 ( кв. од )

Відповідь. 4 ( кв. од )

V. можливі випадки, коли частина плоскої фігури лежить нижче від осі ОХ


 

 

 

 

 

 

У цьому випадку вісь ОХ можна перенести вниз так, щоб вона проходила через точку В. від такого перенесення площа заштрихованої фігури не змінюється і межі інтегрування а і b залишаться незмінними. Тоді заштрихована фігура буде повністю знаходиться вище від осі ОХ і ми можемо скористатися формулою

S =

Завдання5.Обчислити площу фігури, обмеженої лініями у = – 2х + 8, х = – 2,

у = х – 1.

 

Розв’язання

Графіками функцій є прямі у = 2х + 8,

х1 = 0, у1 = 8; х2 = 1, у2 = 6..

у = х – 1. х1 = 0, у1 = – 1; х2 = 2 , у2 = 1.

Щоб знайти площу заштрихованої фігури, спочатку перенесемо вісь ОХ униз, щоб вона проходила через точку А. тоді площа заштрихованої фігури дорівнює різниці площ криволінійних трапецій АСКВ і АКВ.

Знайдемо точки перетину прямих у = 2х + 8 і

у = х – 1

– 2х + 8 = х – 1; – 3х = – 9; х = 3

 

 

S = 37,5 ( кв. од )

Відповідь. 37,5 ( кв. од )

-3. Розв’язування вправ за підручником

№ 26. 10 (1 – 3 ) ( самостійно під керівництвом вчителя)

VІ. Підсумок уроку

– Хвилина відпочинку

Забути не можна пам’ятати

Де у цьому реченні поставити кому після нашого уроку?

– Вправа ,, Мікрофон ”

Сьогодні на уроці я……..

VІ. Домашнє завдання

Вивчити алгоритм знаходження площ плоских фігур.

Розв’язати № 26. 11( 1 – 3, 7 ), № 26. 22 ( 1 – 2 )

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок № 14 (162.6 KiB, Завантажень: 57)

завантаження...
WordPress: 22.83MB | MySQL:26 | 0,921sec