Обчислення об’ємів тіл

Урок № 16

Тема. Обчислення об’ємів тіл

Мета. Сформувати вміння обчислювати об’єми тіл за допомогою визначеного інтеграла

 

Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь, навичок

Обладнання: набір креслярських інструментів, стереометричних тіл, картки

 

ХІД УРОКУ

І. Організаційний етап

– Математична усмішка:

Якщо о 12 годині ночі йде дощ, то чи можна очікувати, що через 72 години буде сонячна погода?

( Ні, бо через 72 години ( це три доби ) знову буде ніч )

ІІ. Аналіз самостійної роботи, проведеної на попередньому уроці

 

– № 26.10 ( 7, 9, 10, 11 )





7. S = ;

9. S = ;

10. S = ;

11. S = ;

– № 26.10.( 14, 15 ), № 26.21.( 4, 6 )

 



14. S = ;

15. S = ;

№ 26.21.( 4, 6 )

4. S = ;

6. S =

ІІІ. Повторення попереднього матеріалу та перевірка домашнього завдання

Домашнє завдання перевіряється прийомом ,, Узнай мене ”

ІV. Сприймання і усвідомлення формули знаходження об’єму тіл

На попередніх уроках ви дізналися, як за допомогою інтегрування можна обчислити площу криволінійної трапеції та інших фігур на площині.

Поняття інтеграла може бути використане для виведення формули об’ємів тіл.

Розглянемо практичний приклад. Припустимо, що нам потрібно обчислити об’єм лимона, який має неправильну форму, і тому використати яку-небудь відому формулу об’єму неможливо. Поступимо таким чином. Розріжемо лимон на тоненькі дольки. Кожну дольку приблизно можна вважати циліндром, радіус якого можна виміряти. Об’єм такого циліндра легко обчислити за готовою формулою. Склавши об’єми маленьких циліндрів, ми одержимо приблизно об’єм всього лимона. Наближення буде тим точніше, чим на більш тонкі частини ми зможемо розрізати лимон.

Використаємо аналогічну процедуру для обчислення об’єму тіла.

На рисунку зображено довільне тіло, об’єм якого потрібно обчислити. Припустимо, що дане тіло розташоване між паралельними площинами. Введемо систему координат так, щоб вісь абсцис була перпендикулярна цим площинам. Позначимо через S(x) площу перерізу тіла площиною, перпендикулярною осі абсцис і яка перетинає її в точці х; функція S(x) неперервна на відрізку [а; b].

Розділимо відрізок [а; b] на n рівних відрізків: x0 = а, х1, x2, …,
хn-1, хn = b і через точки перетину проведемо площини, перпендикулярні осі ОХ. Ці площини розріжуть дане тіло на n шарів.

Об’єм даного тіла приблизно дорівнює сумі об’ємів шарів з основами

S(x0), S(x1), S(x2), …, S(xn-1) і висотою Δx = :

V = Vn = S(x0)·Δx + S(x1)·Δx +…+ S(xn-1) ·Δx = (S(x0) + S(x1) +…+S(xn-1)·Δx.

Точність цього наближення тим вища, чим більше n, тобто, тонші прошарки. Природно вважати, що об’єм даного тіла дорівнює границі об’єму V при n: . Сума V є інтегральною сумою для неперервної на відрізку [а; b] функції S(x), отже

.

Виведемо формулу об’єму тіла обертання. Нехай криволінійна трапеція обмежена відрізком [а; b] осі абсцис, графіком функції у = f(x), невід’ємної і неперервної на відрізку [а; b], прямими x = а, x = b обертається навколо осі ОХ. При обертанні цієї трапеції навколо осі абсцис утворюється тіло, об’єм якого можна обчислити за формулою


.


Але
S(x) = πу2
або
S(x) = π(f(x))2,
отже,


 

V. Засвоєння нових умінь і знань

– Завдання. Виведіть формули для знаходження:

( два учні біля дошки за варіантами розв’язують ці задачі )

 

а). Об’єму конуса

Розв’язання.

Нехай конус одержали в результаті обертання прямокутного трикутника ОАВ ( ОАВ = 900 ) навколо прямої ОА. Введемо прямокутну систему координат із початком О і віссю абсцис, що збігається з прямою ОА. Рівняння прямої


ОА = у = k x , t g =k, t g =

Трикутник АОВ є частковим випадком криволінійної трапеції ( вона обмежена віссю Ох,

графіком функції y = і прямою х = Н ). Тому об’єм конуса можна знайти за допомогою загальної формули для об’ємів тіл обертання:



Відповідь. V =.

б). Об’єм кулі

Розв’язування.

Введемо систему координат, вважаючи центр кулі початком координат. Площина х у перетинає поверхню кулі по колу радіуса R. Це коло записується рівнянням х2 + у2 = R2. Півколо, що знаходиться у верхній півплощині, задається функцією
.


Відповідь.

– Робота учнів з підручником ст.. 270 – 271 ( обчислення об’єму піраміди )

– Виконання вправ

Обчисліть об’єм тіла, утвореного при обертанні навколо осі абсцис криволінійної трапеції, обмеженої лініями:

а) у = 3х, у = 0, x = 2;

б) у =
, y = 0, x = 2;

в) у = х2 + 1, у = 0, x = 0, x = 2;

г) у = х3, у = 1, x = 2;

д) y = sin x, у = 0, .

Відповідь: а) 24π; б) 2π; в) 13π; г)17π; д) 0,5π2.

VІ. Підбиття підсумків уроку. Виставлення оцінок

– Математична усмішка :

У якому місяці діти сміються найменше? ( у лютому )

VІІ Домашнє завдання

П. 27.№ 27.2., № 26.18

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок № 16 (116.7 KiB, Завантажень: 68)

завантаження...
WordPress: 22.93MB | MySQL:26 | 0,421sec