НАСЛІДОК СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. РІВНОСИЛЬНІСТЬ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. КРИТЕРІЙ СУМІСНОСТІ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ. РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ МЕТОДОМ ПОСЛІДОВНОГО ВИКЛЮЧЕННЯ НЕВІДОМИХ

Якщо будь яке розв’язання однієї системи рівнянь є розв’язком іншої системи, то другу систему називають наслідком першої і позначають . Якщо система (1) є наслідком (2) , а (2) є наслідком (1), то такі системи наз. рівносильними і позначають (1) ~ (2). До елементарних перетворень системи рівнянь відносять такі:

  1. домноження будь якого рівняння системи рівнянь на число ≠ 0.
  2. додавання (віднімання) до будь якого рівняння системи інших рівнянь, домножених на будь яке число.
  3. Виключення з системи або приєднання до системи довільної кількості рівнянь з нулевим коефіцієнтом і нулевим вільним членом.

    Теор. Якщо система (2) отримується з системи (1) в результаті виконання ланцюжка перетворень 1-3, то такі системи рівносильні.

    Теор. (критерій Кронекера- Капелі): Для того, щоб система лінійних рівнянь була сумісною, необхідно і досить, щоб ранг основної і розширеної матриць співпадали.

    Дов.: Н: Нехай задана система лінійних рівнянь , яка має розв’зок, тобто є сумісною. Тоді існує набір чисел що має місце векторна рівність , яка виражає векторну форму системи лінійних рівнянь. Дане векторне рівняння означає, що вектор b належить лінійній оболонці системи векторів стовпців . Тоді 2 системи векторів (1) і (2) еквівалентні, а значить ці системи мають однаковий ранг. Ранг першої системи = стовпцевому рангу головної матриці, а отже і рангу матриці А. Ранг другої системи = стовпцевому рангу розширеної матриці, тобто рангу матриці В. Отже ранг головної і розширеної матриці співпадають.

    Д: Нехай ранг головної і розширеної матриці співпадає. Тоді співпадають стовпцеві ранги. Отже базис першої системи буде базисом другої системи і вектор b в цей базис не входить, тому вектор b можна подати у вигляді лінійної комбінації базису першої системи. Якщо до цієї комбінації додати нуль, помножений на всі інші вектори, що не входять в базис першої системи, то звідси побачимо, що вектор b можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів . А це означає, що векторна форма системи лінійних рівнянь має розв’язок. Т. доведена.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Naslidok (32.5 KiB, Завантажень: 2)

завантаження...
WordPress: 22.84MB | MySQL:26 | 0,345sec