Найбільше і найменше значення функції

Урок 21-22

Тема уроку. Найбільше і найменше значення функції.

Мета уроку. Навчити учнів застосовувати поняття похідної для знаходження найбільшого і найменшого значення функції на відрізку; застосовувати дані знання для розв’язування прикладних задач; розвивати логічне мислення вміння аналізувати і узагальнювати; виховувати любов до предмету;

Методи і прийоми навчання. Анаграма;робота в групах ,комп’ютерна презентація; проблемна ситуація.

Хід уроку

І. Організаційна частина.

ІІ. Актуалізація опорних знань і умінь.

Вітаю Вас, нам з Вами випала честь взяти участь у проекті «Математичний
журнал». Ви маєте можливість спробувати себе в ролі творчих журналістів. Наше завдання на сьогоднішньому засіданні зробити добірку матеріалів для журналу. Я знаю, що певна робота вами уже проведена, пропоную цей номер присвятити «Похідній».

  • Які, на Вашу думку, теми варто розглянути, як розкрити усі цікаві і складні сторони «Похідної»?
  • Дякую. Дуже цікаві ідеї. Але чи не здається вам, що ця підбірка дуже наукова, чим заохотити читачів нашого журналу, як привернути їх увагу?
  • Я сподіваюся ,у цьому нам допоможе анаграма. Спробуйте її розшифрувати.
  • ЧІЗАДА НІДИДО, МІТИЦОПАЗІЮ, ДАРСТАНТ.
  • Дані слова невипадково складають одну анаграму. Усіх їх пов’язує одна спільна тема.
  • Людині у своїй діяльності часто доводиться вирішувати завдання, коли потрібно затратити якомога менше часу, сил, коштів для одержання найкращого результату. Наприклад, яких розмірів має бути ящик, щоб об’єм був найбільшим з вказаного матеріалу?
  • Як зробити так, щоб деталі космічного корабля мали меншу масу? В якому місці побудувати міст через річку, щоб дорога була коротшою?
  • Задачі такого типу називаються задачами на оптимізацію (від лат. Optimum – найкращий).
  • Одна із стародавніх задач – задача Дідони, теж належить до задач на оптимізацію. Згідно легенди, Дідона – цариця Карфагену могла отримати тільки ту ділянку землі, яку обмежить шкіра вола. Цариця порізала шкіру вола на смужки і розклала їх так, що обмежена ділянка землі стала значно більшою, в порівнянні з тією, яку ю могла обмежити вся шкіра.
  • В техніці усе тримається на стандартах. Відповідність деталей одна одній забезпечує саме стандартизація – тобто, встановлення єдиних норм і вимог до сировини, напівфабрикатів, готових виробів і матеріалів. Служби стандартизації розробляють свою систему стандартів у державі – ДСТУ.
  • В усіх цих задачах ми маємо справу з двома величинами, одна з яких залежить від іншої, потрібно знайти значення однієї, щоб інша була найбільшою, найкращою за даних умов.
  • В основі усіх цих задач лежать математичні методи, зокрема знаходження найбільшого і найменшого значення функції за допомогою похідної. І уміння розв’язувати ці задачі потрібні інженеру, економісту, будівельнику, екологу. Саме цю тему, я пропоную розкрити на сторінках журналу, адже завдання по оптимізації чекають Вас на ЗНО. Запишіть цю тему у свої записники, настав час познайомитися з нею детальніше.

    ІІІ. Пояснення нового матеріалу.

  • Задачі на знаходження найбільшого і найменшого значення функції Вам добре відомі, особливо коли побудований графік функції, це графіки зміни температури, руху туристів, курсу валюти.
  • За поданими графіками вкажіть точку і відповідно значення функції, яке є найбільшим, найменшим.


     

  • Як бачимо у випадку коли функція зростає або спадає на відрізку [a,b] найбільше і найменше значення досягається на кінцях відрізка.
  • У випадку, коли функція є неперервною і має скінчену кількість стаціонарних точок ситуація змінюється, наприклад, стаціонарні точки х1, х2 розбивають відрізок [a,b] на менші відрізки, в середині яких стаціонарних точок немає.


     

  • Тому найбільше і найменше значення функції слід шукати серед усіх цих точок. Функція може набувати найбільших і найменших значень як на кінцях відрізка так і у внутрішніх точках.
  • Цю властивість неперервних функцій узагальнив німецький математик Карл Вейєрштрас.


    Теорема: Якщо Функція f(x) неперервна на [a,b], то вона має на цьому відрізку найбільше і найменше значення.


    – Найбільше значення функції на [a,b] – це найбільше значення функції на цьому відрізку.

    – записують:


    max f(x)=y(C1)

    [a,b].

    – Найменше значення функції на [a,b] – це найменше значення з усіх на цьому відрізку.

    – записують: min f(x)=y(C2)

    [a,b].

    Проблемна ситуація

    – Звичайно знаходження найбільшого і найменшого значення за графіком очевидне і легке завдання, як же бути у випадку, коли графік відсутній і складно його побудувати? Як. Використовуючи похідну, знайти найбільше і найменше значення?

    Алгоритми знаходження найбільших і найменших значень.

  1. Знайти стаціонарні точки функції на [a; b];
  2. Обчислити значення функції в стаціонарних точках;
  3. Обчислити значення функції в точках a і b;
  4. Вибрати найбільше і найменше значення серед усіх знайдених.

    (Думаю, що алгоритм є простим і додаткових пояснень не потребує).

    Зверніть, увагу на застосування даного алгоритму для розв’язування задач у підручнику сторінка 123

    Приклад №1, 2

    Розв’яжемо разом

    №13.1.

    2), [0; 2]

    -4


    х= -1 не належить [0;2]

    Знайдемо значення функції в т. х=0, х=1, х=2



     

    х=-2; x=4 – критичні точки

     

    х=4 не належить [-3;0]

     


     


     

    Які кроки розв’язку Вам незрозумілі? Як слід написати відповідь?

     

  • Особливий інтерес представляють задачі прикладного змісту, так звані задачі на оптимізацію, коли мова йде про дві величини, які залежать одна від одної, а саме потрібно знайти значення однієї, щоб інша була найбільшою або найменшою. Їх розв’язують за такою схемою
  • Аналіз умови задачі; створення математичної моделі.
  • Одну з невідомих величин вважають незалежною і позначають х.
  • Виражають у через х і записують за допомогою функції цю залежність.
  • Розв’язують математичну задачу;
  • Адаптовують розв’язок до основної задачі

    ІV.Розв’язування вправ

    Давайте спробуємо застосувати цю схему до наступної задачі.

    Задача: для паркування машини відвели майданчик прямокутної форми, яка прилягає до будівлі. Майданчик обгородили металевим дротом довжиною 200м, площа майданчика при цьому виявилася найбільшою. Які розміри майданчика?

     

    – Який етап розв’язування задачі був для Вас складним, чому?

  • Я пропоную Вам самостійно розв’язати наступні задачі, працюючи за схемою два-чотири, з подальшою презентацією етапів розв’язку.

     

    V. Самостійне розв’язування вправ.

  • Складіть схему для розв’язування кожного завдання і запишіть на ватмані паперу, представте для всього класу.

    Завдання 1. Знайти різницю найбільшого та найменшого значення функції: f(x)=x2 + (16-x)2 на [8;16]

    Завдання 2. Рекламний білборд має форму прямокутника площею 9м2. Як його виготовити, щоб периметр був найменшим?

    Завдання 3. Ділянку, площею 294м2, потрібно поділити на дві рівні частини огорожею так, щоб довжина огорожі була найменшою.

    – Яка з запропонованих задач є найлегшою?

  • Що спільного у схемах розв’язання 2 і 3 задач?
  • Який етап у розв’язанні цих задач є основним, на Вашу думку?
  • За даними схемами розв’язку Ви зможете розв’язати ці задачі вдома і на наступному уроці ознайомити усіх з результатами своєї роботи.

    VІ. Підсумок уроку.

    Я сподіваюся, що результат буде успішним. Адже на сьогоднішньому уроці Ви проявили старанність, можливо, не показали високих результатів, але я помітила досить продуктивну роботу. І, оскільки, це тільки перший урок на знаходження найбільшого і найменшого значення функції, то усі успіхи у Вас попереду. Сподіваюсь, з завданнями аналогічного змісту Ви впораєтесь на ЗНО. Бажаю успіхів.

    V. Завдання додому.

    п. 13 приклад 3,4 ст. 124

    № 13.2 (3,4), №13.6, № 13.8


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Урок 21 (568.5 KiB, Завантажень: 74)

завантаження...
WordPress: 22.96MB | MySQL:26 | 1,642sec