Модуль дійсного числа та його властивості

УРОК 1-2

Тема уроку. Модуль дійсного числа та його властивості.

Мета уроку. Узагальнення знань учнів про модуль дійсного числа, вивчення властивостей модуля дійсного числа; розв’язування найпростіших рівнянь та нерівностей з модулем;розвивати логічне мислення,культуру запису розв’язку завдань, формувати уміння працювати у групах.

Методи і прийоми навчання. Фронтальна бесіда,колективне розв’язування вправ, робота в групах.

 

Хід уроку

I.Організаційна частина. Формування робочого настрою.

II.Актуалізація опорних знань

Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від’ємного числа називається число, протилежне даному, модуль нуля дорівнює нулю.

Модуль числа α позначається символом |а| і читається «модуль числа а». Згідно з означенням:


Виконання вправ

1. Знайдіть модулі чисел:

а) –; б) -1; в) 1- ; г) 2- ()2.

Відповідь: а) ; б) -1; в) -1; г) 0.

2. Запишіть вирази без знака модуля:

а) ; б) ; в) ; г) .

Відповідь: а) 2-;    б)-1;    в) sin 3;    г) lg 5.

3. Запишіть вирази, без знака модуля:

а) х + ; б) – х; в) х – ; г) .

Відповідь: а)

б) в)
г)

ІІІ. Повторення і систематизація знань.

Геометричний зміст модуля числа є відстань від початку координат до точки, що зображає дане число (рис. 1) на координатній прямій. Дійсно, якщо а > 0, то відстань ОА дорівнює а. Якщо b < 0, то відстань дорівнює -b.

 

Теорема Модуль різниці двох чисел дорівнює відстані між точками, які є зображеннями чисел на координатній прямійДоведення

Візьмемо числа a і b. Позначимо на координатній прямій числа а, b, а — b через А, В, С (рис. 2). При паралельному перенесенні вздовж осі х на b, точка О перейде в точку В, а точка С — в точку А, тобто ОС=АВ. Оскільки за означенням модуля ОС=, то АВ= , що і треба було довести.

Прості рівняння і нерівності з модулем зручно розв’язувати використовуючи геометричний зміст модуля.

IV. Розв’язування тренувальних вправ.

Приклад 1. Розв’яжіть рівняння |х| = 5.

Співвідношення |х| = 5 геометричне означає, що відстань від точки х до початку координат дорівнює
5, тобто х = 5 або х = -5. Відповідь: ±5.

Приклад 2. Розв’яжіть рівняння |х + 3| = 2.

Розв’язання

Перепишемо співвідношення |х + 3| = 2 у вигляді |х – (-3)| = 2, яке геометрична означає, що відстань від точки -3 до точки х дорівнює 2. Відклавши від точки -3 на координатній прямій відрізок довжиною 2 (вправо і вліво), одержимо х = -1 або х = -5.

Відповідь: -1; -5.

Приклад 3. Розв’яжіть нерівність |х – 3| < 2.

Розв’язання

Розв’язати нерівність |х – 3| < 2 геометричне означає: знайти точки х, відстань від яких до точки 3 не перевищує 2. На відстані 2 від точки З знаходяться точки 1 і 5 (рис. 3). Отже, 1

х
5.

Відповідь: 1 х 5.

Приклад 4. Розв’яжіть нерівність |2х + 1| 3 .

Розв’язання

Перепишемо нерівність |2х + 1| 3 у вигляді |2х – (- 1)| 3 , яка геометрично означає, що відстань від точки 2х до точки -1 не менша 3 (рис. 4). На відстані 3 від точки -1 знаходяться точки 2 і – 4. Таким чином, 2 або – 4, звідси х
1 або х
-2.

Відповідь:
х
1 або х
-2.

 

V. Робота в групах.

( клас ділиться на групи і виконує завдання з наступною перевіркою результатів.)

1. Розв’яжіть рівняння:

а) |х – 1| = 2; б) |х + 3| = 1; в) |2х + 1| = 3; г) |2х – 3| = 9.

Відповідь: а) -1; 3; б) -2; -4; в) 1; -2; г) -3; 6.

2. Розв’яжіть нерівності:

а) |х + 2| > 2; б) |2 – х| > 3; в) |2х – 3| < 5; г) |1 + 2х| < 1.

Відповідь: а) х < -4 або х > 0; б) х < -1 або х > 5; в) -1 < х < 4; г) -1 < х < 0.

3. Множину чисел, зображених на рис. 5, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.


Відповідь: а) |х| < 1; б) |х| < 2; в) |х – 3| < 3; г) |х + 2| < 2.

4. Множину чисел, зображених на рис. 6, запишіть у вигляді нерівності, що містить знак модуля.


Відповідь: а) |х| 1; б) |х| > 3; в) |х + 2| 1; г) |х + 4| > 1.

5. Розв’яжіть рівняння:

а) ||х| – 1| = 2; б) ||х| – 4| = 1; в) ||х – 1| – 1| = 2; г) ||х + 1| + 1| = 2.

Відповідь: а) ±3; б) ±3; ±5; в) -2; 4; г) 0; -2.

6. Розв’яжіть нерівність:

а) ||х| – 2| 1; б) ||х| – 5| 2; в) ||х + 1| + 1| 3.

Відповідь: а) -3
х -1 або 1
х 3; б) -7
х -3 або 3
х 7; в) -3х1.

VІ. Теоретична трибуна.

Працюючи з довідковою літературою, або в мережі Інтернет учні знаходять властивості модуля)

Використовуючи означення та геометричний зміст модуля дійсного числа, можна сформулювати такі його властивості.

1. Модуль дійсного числа — невід’ємне число, тобто |а| 0.

2. Модулі протилежних чисел рівні: |а| =|-а|.

3. Модуль добутку дорівнює добутку модулів множників: |аb| = |а · b|.

Дійсно, якщо а і b — числа однакових знаків, то ab > 0 і |аb| = |а| · |b|.

Якщо α і b — числа, які мають різні знаки, то ab < 0 і
|аb| = = -ab. З другого боку |а|·|b| = – ab. Отже, |аb| = |а|•|b|.

4. Квадрат модуля числа дорівнює квадрату числа: |а|2 = а2.

5. Модуль дробу дорівнює модулю чисельника, поділеному на модуль знаменника (якщо. модуль знаменника не дорівнює нулю):

Дійсно, оскільки а = ·b, то за властивістю 3 маємо: , звідки .

6. Модуль суми не перевищує суми модулів доданків: |а + b|

|a| +|b|.

Оскільки -|a|
а |a| і |b|
b
|b|, то, додавши почленно ці нерівності, одержимо

-|а| – |b|
а + b
|а| + |b|, або

-(|а| + |b|) а + b |а| + |b|,

що означає |a + b| |а| + |b|.

 

VIІ. Формування умінь розв’язувати рівняння з модулями.

1. Рівняння |f(x)| = | g(x)| рівносильне об’єднанню рівнянь:

f(x) =
g(x) та f(x) = -g(x).

Приклад. Розв’яжіть рівняння: |х|= |4 – х|.

Розв’язання

Рівняння |х| = |4 – х| рівносильне рівнянням x = 4 – x та x = -4 + x. Тоді

1) x = 4 – x; 2x = 4; x = 2.

2) x = – 4 + x; Οx = -4; розв’язків немає.

Відповідь: 2.

2. Рівняння |f(x)| = g(x) рівносильне двом системам:

     та

Приклад. Розв’яжіть рівняння |х2х – 8| = – х.

Розв’язання

Рівняння |х2х – 8| = – х рівносильне системам


Відповідь: -2; 2.

3. Приклад. Розв’яжіть рівняння |х + 1| + |х – 2| = 3.

Розв’язання

Вирази х + 1 і х – 2 дорівнюють нулю відповідно при

х = – 1 і х = 2. Тому розглянемо такі три випадки (рис. 7).

І) Знайдемо всі розв’язки рівняння, які задовольняють умову х – 1.

Якщо х –1, то х + 1 0, х – 2 0 і дане рівняння має вигляд:

– х – 1 – х + 2 = 3; -2х + 1 = 3; -2х = 2; х = -1.

II) Якщо -1 < х 2, то |х + 1| = х + 1, |х – 2| = – х + 2 і дане рівняння набирає вигляду: х + 1 – х + 2 = 3; 0х +3 = 3; 0х = 0. Розв’язком цього рівняння є довільне число з проміжку -1 < х 2.

IІІ) Якщо х > 2, то |х + 1| = х + 1, |х – 2| = х – 2 і дане рівняння набирає вигляду:

х + 1 + х – 2 = 3; 2х – 1 = 3; = 4; х = 2 — не входить в проміжок х > 2.

Отже, дане рівняння має корені -1
х

2.

Відповідь: -1 х
2.

 

VIII. Формування умінь розв’язувати нерівності з модулем.

  1. Нерівність |f(x)| < g(x) рівносильна системі або подвійній нерівності – g(x) < f(x) < g(x).

     


     

     

     

    2.Нерівність |f(x)| > g(x) рівносильна двом нерівностям: f(x) > g(x) та f(x) < -g(x).

    Приклад. Розв’яжіть нерівність |3х – 2| > 2х + 1.

    Розв’язання

    Нерівність |3х – 2| > + 1 рівносильна об’єднанню двох нерівностей:

    3х – 2 > 2х + 1 та
    3х – 2 < – 2х – 1.

    1) 3х – 2 > 2х + 1; х > 3.

    2) 3х – 2 < -2х – 1; 5х < 1; х < .

    Отже, дана нерівність має розв’язок х е .

    Відповідь: .

    3. Нерівність |f(x)| > |g(x)| рівносильна нерівності f2(x) > g2(x}·

    Приклад. Розв’яжіть нерівність |3 + x| |x|.

    Розв’язання

    |3 + х|

    |х|;
    (3 + х)2
    х2; 9 + 6х + х2
    х
    2; 6х -9; х

    ; х
    -1,5.

    Відповідь: [-1,5; +).

    4. Приклад. Розв’яжіть нерівність |х – 1| + |х – 2| > х + 3.

    Розв’язання

    Ця нерівність рівносильна трьом системам


    Відповідь: x
    (-; 0) U (6; +).

    ІХ. Підсумок уроку.

    Сформулюйте означення і властивості модуля дійсного числа, користуючись таблицею 1.

    Х. Завдання додому.

    Вивчити теоретичний матеріал уроку.

    Користуючись геометричним змістом модуля зобразіть на координатні прямі множину чисел , які задовольняють нерівність:

    а) |х|>5
    б) |х+1| <0,3

     


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

УРОК 1 (142.5 KiB, Завантажень: 29)

завантаження...
WordPress: 22.91MB | MySQL:26 | 0,342sec