МЕТОДИКА ВИВЧЕННЯ ТЕМИ: «ТРИКУТНИКИ»

З трикутником учні знайомі ще з молодших класів, а в 5 кл. учні уже детальніше розглядають тему трикутник і його види. Для цього можна намалювавши на дошці усі види трикутників, а учні в зошитах, вимірявши транспортиром кути трикутників можна дати кожному трикутнику означення.

Якщо один із кутів трикутника прямий, то трикутник прямокутний
(рис. 30, а); якщо один із кутів тупий – тупокутний (рис. 30, б); якщо всі три кути гострі – гострокутний (рис. 30, в). Трикутник, дві сторони якого рівні, називається рівнобедреним (АС = ВС на рисунку 31, а). Третя сторона – основа, рівні сторони – бічні
сторони. Трикутник, три сторони якого рівні (АС = ВС = АВ на рис. 31, б), називається рівностороннім.

А вже у 7 кл. учні знайомляться з означенням трикутника.
Трикутником
називається фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами
трикутника, а відрізки — його сторонами.

На малюнку 21 ви бачите трикутник з вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Трикутник позначається його вершинами. Кутом
трикутника АВС
при вершині А називається кут, утворений півпрямими АВ і АС. Так само означаються кути трикутника при вершинах В і С. Два відрізки
називаються
рівними,
якщо вони мають однакову довжину. Два кути називаються рівними,
якщо вони мають однакову кутову міру в градусах.
Трикутники називаються рівними,
якщо в них відповідні сторони рівні і відповідні кути рівні. При цьому відповідні кути мають лежати проти відповідних сторін. Далі учнів знайомлять з ознаками рівності трикутників.

  1. Якщо дві сторони і кут між ними одного трикут. = відповідно двом соронам і куту між ними другого трикут., то такі трикут. рівні.

    Д-ня: Нехай ABC і А1В1С1 — два трикутники, у яких АВС і А1В1С1, у яких АВ = A1B1, AC = А1С1, A = A1 (мал. 44). Доведемо, що трикутники рівні.

    Нехай А1В2С2 — трикутник, що дорівнює трикутнику ABC, і його вершина В2 лежить на промені А1В1, а вершина С2 — у тій самій півплощині відносно прямої А1В1, де лежить вершина С1. (мал. 45, а).

    Оскільки А1В1= А1В2, то вершина В2 збігається з вершиною В1.
    (мал. 45, б)
    Через те що
    В1А1С1 = В2А1С2, промінь А1С2 збігається з променем А1С1(мал. 45, в). Оскільки А1С1= А1С2, то вершина С2 збігається з вершиною С1 (мал. 45, г). Отже, трикутник А1В1С1 збігається з трикутником А1В2С2, тобто дорівнює трикутнику ABC. Теорему доведено.

    Отже, трикутник А\В\С\ збігається з трикутником А\В2С2, тобто дорівнює трикутнику ABC. Теорему доведено

  2. Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикут. = відповідно стороні й прилеглим до неї кутам другого трикут., то такі трикут. рівні.
  3. Якщо 3 сторони одного трикут. = відповідно 3 сторонам другого трикут., то такі трикут рівні.

    Висотою трикутника, опущеною з даної вершини, називається перпендикуляр, проведений з цієї вершини до прямої, що містить протилежну сторону трикутника.

    На малюнку 51 ви бачите два трикутники, у яких проведено висоти з вершин В і В. На малюнку 51, а основа висоти лежить на стороні трикутника, на малюнку 51, б — на продовженні сторони трикутника. Бісектрисою трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає цю вершину з точкою на протилежній стороні (мал. 52, а). Медіаною
    трикутника, проведеною з даної вершини, називається відрізок, що сполучає цю вершину із серединою протилежної сторони трикутника (мал. 52, б)

    Далі розглядається теорема про суму кутів трикутників.

    Теорема. Сума кутів трикутників = 180°. Д-ня: Нехай ABC — даний трикутник. Проведемо через вершину В пряму, паралельну прямій АС. Візьмемо на ній точку D так, щоб точки А і D лежали по різні боки від прямої ВС (мал. 78).

    Кути DBC і АСВ рівні як внутрішні різносторонні при перетині паралельних прямих АС і BD січною ВС. Тому сума кутів трикутника при вершинах В і С дорівнює куту ABD.

    А сума всіх трьох кутів трикутника дорівнює сумі кутів ABD і ВАС. Оскільки ці кути внутрішні односторонні для паралельних АС і BD і січної АВ, то їх сума дорівнює І80°.

    Далі учні вивчають все про прямокутній трикут.

    Трикутник називається прямокутним, якщо він має прямий кут. Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180°, то в прямокутному трикутнику тільки один прямий кут. Два інших кути прямокутного трикутника гострі. Сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 180° — 90° = 90°.

    Сторона прямокутного трикутника, що лежить проти прямого кута, наз. гіпотенузою, дві інші сторони наз. катетами

    Ознаки подібності трикутників

  4. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

    Д-ня:
    Нехай у трикутників ABC і маємо < А = <., < B= <. Доведемо, що Δ АВС = Δ А1В1С1.Нехай . Застосуємо до трикутника Δ А1В1С1перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k, наприклад гомотетію (мал. 238). При цьому дістанемо деякий трикутник , що дорівнює трикутнику ABC. Справді, оскільки перетворення подібності зберігає кути, то Отже, у трикутників ABC і А2В2С2: . Далі = k А1В1= АВ. Отже, трикутник А ВС дорівнює трикутнику А2В2С2 за другою ознакою (за стороною і прилеглими до неї кутами). Оскільки трикутники А1В1С1
    і
    гомотетичні, і отже, подібні, а трикутники А2В2С2
    і ABC рівні і тому теж подібні, то трикутники А1В1С1 і ABC подібні.

    2) Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то такі трикутники подібні.

    3) Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники подібні

    Теорема Піфагора
    У прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

    Д-ня. Нехай ABC — даний прямокутний трикутник з прямим кутом С. Проведемо висоту CD з вершини прямого кута С (мал. 149). За означенням косинуса кута

    Звідси АВ∙AD = . Аналогічно . Звідси

    АВ·BD = . Додавши рівності почленно і врахувавши, що AD + DB = АВ, дістанемо:

    АС2
    + ВС2
    = АВ (AD + DB) = АВ2. Теорему доведено.

завантаження...
WordPress: 22.76MB | MySQL:26 | 0,912sec