ЛІНІЙНА ЗАЛЕЖНІСТЬ І НЕЗАЛЕЖНІСТЬ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ. БАЗИС І РАНГ СКІНЧЕННОЇ СИСТЕМИ ВЕКТОРІВ

Озн. Під системою векторів розуміють деяку множину векторів.

Система векторів векторного простору М над полем Р наз. лінійно залежною, якщо в полі Р існують скаляри не всі рівні 0, такі що .

Озн. Система векторів буде наз. лінійно незалежною, якщо рівність можлива при всіх α=0. Поржні множини векторів — лінійно незалежні.

Властивості системи векторів:

  1. Якщо система векторів містить нуль вектор, то вона лінійно залежна.

    Дов.: Система векторів , тоді . Якщо , то знайдеться набір чисел не всіх рівних 0,лінійна комбінація при якому дає нуль вектор θ.

  2. Якщо система векторів лінійно незалежна та система векторів лінійно залежна, то вектор y можна подати у вигляді лінійної комбінації векторів лише єдиним способом.

    Дов.:Так як система векторів є лінійно залежною, то існують скаляри із поля Р не всі рівні нулю. Такі що . Покажемо що саме скаляр . Якби то-лінійно залежна система, що суперечить умові, тоді .

  3. Якщо система векторів є лінійно залежною, то хоча б один вектор є лінійною комбінацією інших.

    Дов.: За озн. існують скаляри , що і хоча б один скаляр не дор. 0. Нехай, то .

  4. Будь яка підсистема лінійно незалежних векторів є теж лінійно незалежною.

    Озн. Лінійно незалежна система векторів наз. базисом простору , якщо будь який вектор простору є лінійною комбінацією векторів .

    Озн. Рангом системи векторів наз. число векторів, які входять у який небудь базис системи.

    Теор. У просторі , що має розмірність n, кожна лін. незал. система векторів з n векторів є базисом.

    Теор. Якщо в вектотрному просторі є базис, що складається з n векторів, то простір L має розмірність n.

    Н. Кожен базис n вимірного простору складається з n векторів.

    Теор. В n – вимірному векторному просторі будь які лінійно незалежні системи векторів можна доповнити до базису цього простору.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Linijna Zalegnist (70.5 KiB, Завантажень: 4)

завантаження...
WordPress: 22.88MB | MySQL:26 | 0,311sec