Курсова роботана тему: „Комп’ютерне моделювання фізичних процесів”

Зміст

  1. Вступ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
  2. Коливання математичного маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
  3. Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту. Закони подібності . . . . . . 12
  4. Висновок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20
  5. Використана література . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

Вступ

Фізика – наука, в якій математичне моделювання є надзвичайно важливим методом дослідження. Разом з традиційним діленням фізики на експериментальну і теоретичну сьогодні упевнено виділяється третій фундаментальний розділ – обчислювальна фізика. Причину цього в цілому можна сформулювати так: при максимальному проникненні у фізику математичних методів, що деколи доходить до фактичного зрощення цих наук, реальні можливості рішення виникаючих математичних задач традиційними методами дуже обмежені. З багатьох конкретних причин виділимо дві що найчастіше зустрічаються: не лінійність багатьох фізичних процесів і необхідність дослідження сумісного руху багатьох тіл, для якого доводиться розв’язувати системи великого числа рівнянь. Часто чисельне моделювання у фізиці називають обчислювальним експериментом, оскільки воно має багато спільного з лабораторним експериментом.

Аналогії між лабораторним і обчислювальним експериментами

Лабораторний експеримент

Обчислювальний експеримент

Зразок

Модель

Фізичний прилад

Програма для комп’ютера

Калібрування приладу

Тестування програми

Вимірювання

Розрахунок

Аналіз даних

Аналіз даних

Чисельне моделювання найчастіше є інструментом пізнання якісних закономірностей природи. Найважливішим його етапом, коли розрахунки вже завершені, є усвідомлення результатів, уявлення їх в максимально наочній і зручній для сприйняття формі. Забити числами екран комп’ютера або отримати роздруковані ті ж числа не означає закінчити моделювання. Тут на допомогу приходить інша чудова особливість комп’ютера, доповнюючи здібність до швидкого рахунку, – можливість візуалізації абстракцій. Представлення результатів у вигляді графіків, діаграм, траєкторій руху динамічних об’єктів через особливості людського сприйняття збагачує дослідника якісною інформацією. У багатьох фізичних завданнях, що розглядаються нижче, фундаментальну роль грає другий закон Ньютона – основа всієї динаміки.

В уточненій редакції закон затверджує: прискорення, з яким рухається тіло в даний момент часу, пропорційне діючій на нього у цей момент силі і обернено пропорційне масі, яку в даний момент має тіло. Зв’язуючи миттєві значення величин, другий закон Ньютона дозволяє вивчати рух тіл при довільних змінах в часі сили і маси.

Коливання математичного маятника

Коливальний рух – одне з найпоширеніших в природі. Різноманітні маятники в годиннику і інших технічних пристроях, коливання мембран і оболонок, коливання атомів в молекулах, іонів і молекул в кристалах і багато інших процесів в живій і неживій природі в чомусь схожі: об’єкт рухається таким чином, що багато разів проходить через одні і ті ж крапки, періодично відтворюючи один і той же стан. Вивчивши його рух на порівняно короткому відрізку часу, що включає один період, ми можемо скласти повне уявлення про його рух в майбутньому.

Коливальні рухи бувають вельми багатообразні. Розглянемо ідеалізовану систему, що складається з тіла маси m, прикріпленого до нижнього кінця жорсткого нерухомого стрижня довжиною l, верхній кінець якого обертається без тертя в точці підвісу.

Якщо вантаж відхилити від положення рівноваги на кут ө і відпустити, то математичний маятник коливатиметься у вертикальній площині.


Оскільки рух вантажу відбувається по дузі кола радіусу l, то його положення характеризується в кожну мить кутом . Лінійна швидкість і прискорення рівні

v=l, a=l     (1)

На вантаж діє дві сили: сила тяжіння і пружна сила натягнення стрижня . При виведенні рівняння руху досить врахувати лише компоненту сили , направлену по дотичній до дуги: F=mgsin, направлена вона у бік зменшення . Сила перпендикулярна до дотичної і внеску в це рівняння не дає. Рівняння руху прийме вигляд

ml=- mg sin, або =-sin     (2)

Зазвичай в курсі фізики обмежуються дослідженням малих коливань. Якщо 1, то рівняння (2) можна вважати еквівалентним (оскільки sin; тут і далі використовується міра радіану кутів) рівнянню

=-Q

Рішення його елементарно:

Q=Acost+Bsint

де w= – власна частота, Т= – період коливання маятника. Значення А і В залежать від початкових умов. Якщо при t=0

=, ν=ν,

то

=cost+sint

або, як часто записують

cos(t+)      (3)

де – так звана, початкова фаза; А – амплітуда коливання; А і
легко виразити через початкові умови і :

А=, tg=-

Рух, що відбувається згідно з (3) законом, називають гармонійним коливальним рухом. Слово «гармонійний» пов’язують з простою тригонометричною функцією (синусом або косинусом); так, гармонійним є і рух А sin(t+), до якого також можна звести (3).

Для вивчення коливань з великою амплітудою слід звернутися до рівняння (2), яке свідомо не інтегрується в елементарних функціях. Обезрозмірим його, узявши за характерний масштаб часу період малого коливання. Якщо, то

=(-sin), або =-4sin (4)

Це рівняння взагалі не містить параметрів. Достатньо його вирішити, і ми складемо повне уявлення про природу «великих» коливань. У цьому виявляється сила прийому обезрозмірення.

Зведемо (4) до системи двох рівнянь першого порядку:

(5) sin

Істотно, що система консервативна, і повна енергія зберігається (до тих пір, поки ми не враховуємо тертя і дію ззовні):

Е=+ (6)

У безрозмірних змінних або

     (7)

Як і при моделюванні руху небесних тіл, збереження в ході інтеграції – прекрасний критерій для вивчення стійкості методу, вибору кроку. Рівняння гармонійного руху з періодом Т і амплітудою А

+).

Щонайширше розповсюдження в математиці і її застосуваннях, пов’язані з періодичними функціями, має, так званий, гармонійний аналіз. Оскільки тригонометричні функції, відповідні гармонійному руху, добре вивчені і звичні, те прагнення передати періодичний рух хоч би сумою декілька гармонійних цілком зрозуміло. Всі ці «гармоніки» повинні мати той же період, що і функція, що вивчається. Якщо її період Т, то, окрім тригонометричних функцій
період Т мають і функції з частотами, кратними, тобто при будь-якому цілому >0. Гармонійне розкладання функції f(t) з періодом Т в загальному випадку має вигляд

f(t)=++++…++++…,

причому число гармонік-доданків формальне нескінченно велике. Якщо обмежитися лише невеликим числом коефіцієнтів, скажімо, трьома, то число гармонік можна приблизно знайти інтерполяцією.

Коливання маятника за наявності тертя. Оскільки сила тертя при малих швидкостях пропорційна швидкості, а швидкість, то рівняння вільних коливань маятника з урахуванням тертя виглядає так:

=-

Перетворимо його до вигляду

+     (8)

де, як і вище, w=, а . При малих коливаннях рівняння (8) перетворюється на

+2     (9)

Його рішення таке: затухаючі коливання при < і загасання без коливань при . Все це можна перевірити в ході чисельного моделювання, хоча рівняння (9) допускає аналітичне рішення. Приведемо його: при <

),

де, А – амплітуда, – початкова фаза. При


де А і В також можна виразити через і .

Вимушені коливання. Якщо на маятник впливає зовнішня сила F(t), змінна з часом, то рівняння руху виходять з (8) додаванням F(t) до правої частини. Розглянемо лише випадок періодичної зовнішньої дії: F(t)=, де – частота сили, що вимушує. Маємо рівняння руху маятника:

+,      (10)

де . При малій амплітуді результуючого руху рівняння (10) прийме вигляд

+2.     (11)

Рух, що описується рівнянням (11), складається з двох етапів. На першому воно складається з двох коливальних рухів: затухаючих власних коливань з частотою (при <) і вимушених коливань з частотою . На другому етапі, після закінчення часу, залишаються лише вимушені періодичні коливання, амплітуда яких залежить від співвідношення частот і і різко зростає при = – явище резонансу. Чисельна інтеграція рівняння (11) необов’язкова, оскільки рішення можна записати у вигляді формул, що містять лише елементарні функції:

(12)

Дослідження перехідного процесу встановлення стаціонарних вимушених коливань, резонансу, биття, що виникає при k=0 і можуть бути, звичайно, проведені з використанням формул (12) простою табуляцією з виведенням результатів на екран комп’ютера у формі, зручній для сприйняття; вони ж можуть бути і об’єктами чисельного моделювання.

Параметричні коливання. Розглянемо ще один вид коливань маятника, коли на нього зовнішні сили безпосередньо не діють, але усередині системи відбуваються деякі події, що приводять до залежності від часу параметрів, що входять в рівняння руху. В цьому випадку коливальні рухи називають параметричними.

Простий приклад – розгойдування гойдалок зусиллями тієї людини, яка стоїть на цих гойдалках. Всі знають, що, сідаючи і відштовхуючись «в такт», можна сильно розігнати гойдалки. Вказані присідання зводяться до періодичної зміни центру тяжкості системи, або, що майже рівносильне, довжині нитки підвісу. Оскільки довжина нитки підвісу визначає частоту коливань, то математична модель явища – рівняння

+,     (13)

де – задана функція, що визначає закон зміни частоти. Ми розглянемо випадок гармонійної зміни :

=,

де – частота зміни величини .

При малих амплітудах коливань і відсутності тертя рівняння (13) перетворюється на

+.     (14)

Рішення будь-якого з цих рівнянь можливо лише чисельно. Одна з цікавих особливостей рівняння (14) – так званий, параметричний резонанс – допускає часткове аналітичне дослідження. Параметричний резонанс полягає в тому, що при деяких співвідношеннях частот і, а саме. і при певних значеннях величини в системі виникають наростаючі коливання.

Наростання коливань при параметричному резонансі, що описується рівнянням (14), є необмеженим. Фізично такого бути не може. Обмеження амплітуди коливань наступає або за рахунок обліку тертя, або при поверненні до в рівнянні (13), або за рахунок обох чинників.

Багатогранність завдання про одновимірні коливання. Коливання математичного маятника одновимірні в тому сенсі, що вони описуються однією функцією (хоча вони і відбуваються в двовимірному просторі – площини, але жорсткий стрижень ліквідовує одну з мір свободи, і в звичайних декартових координатах x(t), у(t) виражаються один через одного).

Виявляється, що розглянуті вище рівняння, особливо лінійні, володіють високою універсальністю і описують ряд процесів в механіці твердих тіл, газів, в електродинаміці. Так, рівняння малих коливань

(15)

описує вказані нижче і інші системи (при цьому в x, до, вкладається абсолютно різний фізичний сенс):

  • математичний маятник;
  • пружинний маятник, де сила, що діє на тіло, визначається законом Гука;
  • «фізичний» маятник – тіло, що вільно обертається біля горизонтальної осі;
  • крутильний маятник наручного годинника – симетричне тіло, що здійснює коливання біля вертикальної осі під дією спіральної пружини;
  • струм в коливальному контурі;
  • акустичний резонатор Гельмгольца, в якому відбуваються коливання повітря в колбі з широкою шийкою;
  • коливання магнітної стрілки компаса.

Цікаво, що при великих амплітудах універсальність коливальних рухів порушується. Так, в рівнянні для математичного маятника для інших рухів замінюється іншою нелінійною функцією, і всякий раз задачу доводиться вирішувати наново і, найчастіше, чисельно.

Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Закони подібності

Розглянемо це відоме завдання з урахуванням опору повітря. Будучи кинутим під кутом до горизонту з початковою швидкістю, тіло летить, якщо не враховувати опору повітря, по параболі, і через деякий час падає на землю. Розкладемо швидкість на горизонтальну і вертикальну складові:

, .

Оскільки рух по вертикалі відбувається під дією постійної сили тяжіння, то вона є рівно повільною до досягнення верхньої крапки на траєкторії і рівноприскореною – після неї; рух же по горизонталі є рівномірним. З формул рівноприскореного руху ; раз у верхній крапці, той час досягнення верхньої крапки на траєкторії

.

Висота цієї крапки

.

Повний час руху до падіння на землю 2; за цей час, рухаючись рівномірно уздовж осі x з швидкістю , тіло пройде шлях

.

Для знаходження траєкторії досить з поточних значень x і у виключити t:

, ;

отже

     (1)

Рівняння (1) – рівняння параболи.

Отримані формули можуть, зокрема, послужити для тестування майбутньої комп’ютерної програми. При чималій початковій швидкості опір повітря може значно змінити характер руху. Перш ніж виписувати рівняння, знов оцінимо, яка з складових сили опору – лінійна або квадратична за швидкістю – дає більший внесок в цю силу, і чи не можна одній з цих складових нехтувати. Оцінку проведемо для кульки; по порядку величини оцінка не залежить від форми тіла. Отже, кулька радіусом 0,1 м, рухомий з швидкістю ~ 1 м/с, випробовує в повітрі лінійну силу опору


і квадратичну силу опору

.

Величини і одного порядку. При збільшенні розміру тіла росте швидше, ніж (~ r ~), при збільшенні швидкості також росте швидше, ніж (~ v ~).

Таким чином, якщо ми моделюємо рух кинутого м’яча, каменя, то необхідно в рівняннях утримувати обидві сили опору, що становлять, але якщо ми захочемо моделювати політ снаряда, випущеного із знаряддя, де швидкість польоту майже на всьому його протязі сотні метрів в секунду, то лінійної сили опору, що становить, можна нехтувати. Проектуючи рівняння на осі x і у, отримуємо

,

Оскільки в кожній точці траєкторії сила опору направлена по дотичній до траєкторії убік, протилежний руху, то

,

,

де – кут між поточним напрямом швидкості і віссю x. Підставляючи це в рівняння і враховуючи, що , отримуємо рівняння руху в змінних :

    ,     (2)    .

Оскільки представляє безперечний інтерес і траєкторія руху, доповнимо систему (2) ще двома рівняннями

    ,,     (3)

і, вирішуючи їх спільно з (2), отримуватимемо разом чотири функції:,, x(t), у(t).

Перш ніж дати приклад рішення обговорюваної задачі, покажемо дуже корисний приклад, надзвичайно популярний у фізичному моделюванні, званий обезрозміренням. При рішенні конкретних задач ми користуємося певною системою одиниць (СІ), в якій далеко не всі числові значення лежать в зручному діапазоні. Крім того, абсолютні значення величин дають мало інформації для якісного розуміння. Швидкість 15 м/с – багато це або мало? Вся річ у тому, в порівнянні з чим. Саме порівняно з чимось звичним і зрозумілим ми зазвичай і сприймаємо слова «багато» або «мало», навіть якщо робимо це несвідомо. Ідея обезрозмірення полягає в переході від абсолютних значень відстаней, швидкостей, часів до відносних, причому відносини будуються до величин, типових для даної ситуації. У даному завданні це особливо добре є видимим. Насправді, за відсутності опору повітря ми маємо значення l, h, t, визначені вище; опір повітря змінить характер руху, і якщо ми введемо як змінних величини




– безрозмірні відстані осям і часу, – те за відсутності опору повітря ці змінні змінюватимуться в діапазоні від 0 до 1, а в завданні з урахуванням опору відмінності їх максимальних значень від одиниці ясно характеризують вплив цього опору. Для швидкостей природно ввести безрозмірні змінні, співвідносивши проекції швидкості на осі x і у з початковою швидкістю :

, .

Покажемо, як перейти до безрозмірних змінних в одному з наших рівнянь, наприклад, в другому рівнянні системи (2)

Маємо:


(оскільки постійний множник можна винести за знак похідної). Підставляючи це в рівняння, отримуємо

,

або

.

Підставляючи

,

отримуємо

,

де безрозмірні комбінації параметрів, що входять в початкові рівняння

, .

Здійснимо обезрозмірення у всіх рівняннях (2), (3). В результаті отримаємо

,

(4)

,


Початкові умови для безрозмірних змінних такі:


Найважливіша роль обезрозмірення – встановлення законів подібності. У руху, що вивчається, є безліч варіантів, визначуваних наборами значень параметрів, що входять в рівняння (2), (3) або що є для них початковими умовами: Після обезрозмірення змінних з’являються безрозмірні комбінації параметрів – в даному випадку а, b,, – фактично визначальні характер рухи. Якщо ми вивчаємо два різних рухи з різними розмірними параметрами, але такі, що а, b і однакові, то рухи будуть якісно однакові. Число таких комбінацій звичайне менше числа розмірних параметрів, що також створює зручність при повному чисельному дослідженні всіляких ситуацій, пов’язаних з цим процесом. Нарешті величини
X, Y, фізично легше інтерпретувати, чим їх розмірні аналоги, оскільки вони вимірюються щодо величин, сенс яких очевидний. Перш ніж робити чисельне моделювання, відзначимо, що при обліку лише лінійної сили опору, що становить, модель допускає аналітичне рішення. Система рівнянь (4) при b=0 досить
елементарно інтегрується і результати такі:


(4)



Виключаючи з двох останніх формул час, отримуємо рівняння траєкторії:


Відмітимо, що ця формула не з тих, які звично візуалізуються, наприклад, в порівнянні з абсолютно виразною формулою (1), тут комп’ютер може бути корисний в тому, щоб скласти ясне уявлення про вплив лінійної частини сили опору на рух, що вивчається.

Загальне дослідження при довільних значеннях а і b допоможе виконати приведена нижче програма. Фактично представлено дві програми: при активізації першого або другого блоку. У першому випадку вона бачить результат чисельного моделювання у вигляді таблиці значень безрозмірних швидкостей і координат при фіксованому наборі параметрів а, b і, значення яких встановлюються в розділі визначення констант. При узятті у фігурні дужки першого блоку і активізації другого програма видає в графічному режимі сімейство траєкторій, що відрізняються значеннями одного з трьох безрозмірних параметрів.

Програма. Реалізація моделі «Політ тіла, кинутого під кутом до горизонту».

Program Pod Uglom;

Uses Crt, Graph;

Type G=Array[1..4] of Real;

Const A=0; B=0.1;{параметри моделі}

Al=Pi/4; {кут – параметр моделі}

H=0.001;    Hpr=0.1;{крок інтегрування і крок виведення результатів}

Var N, I, J, M, L, K: Integer;

Y0, Y: G; X0, X, Xpr, A1, B1, Cosinus, Sinus : Real; LS : String;

Function Ff (I : Integer; X : Real; Y :G) : Real;

{опис правих частин диференціальних рівнянь}

Begin

Case I of

1: Ff:=-Al*Sinus*Y[1]-B1*Sinus*Sqrt(Sqr(Y[1])+Sqr(Y[2]))*Y[1];

2: Ff:=-Sinus-A1*Sinus*Y[1]-B1*Sinus*Sqrt(Sqr(Y[1])+Sqr(Y[2]))*Y[2];

3: Ff:=Y[1]/(2*Cosinus);

4: Ff:=2*Y[2]/Sinus

End

End;

Procedure Runge Kut (N: Integer; Var X: Real; Y0: G; Var Y: G; H: Real);

{метод Рунге-Кутта четвертого порядку}

Var I: Integer; Z, K1, K2, K3, K4: G;

Procedure Right (X: Real; Y: G; Var F: G);

{обчислення правих частин диференціальних рівнянь}

Var I: Integer;

Begin

For I:=1 to N do F[I]:=Ff(I, X, Y)

End;

Begin Right (X, Y0, K1); X:=X+H/2;

For I:=1 to N do Z[I]:=Y0[I]+H*K1[I]/2; Right (X, Z, K2);

For I:=1 to N do Z[I]:=Y0[I]+H*K2[I]/2; Right (X, Z, K3); X:=X+H/2;

For I:=1 to N do Z[I]:=Y0[I]+H*K3[I]; Right (X, Z, K4);

For I:=1 to N do

Y[I]:=Y0[I]+H*(K1[I]+2*K2[I]+2*K3[I]+K4[I]/6;

End;

{наступний блок – для отримання числових результатів при одному наборі параметрів}

{Begin

Sinus:=Sin (A1); Cosinus:=Cos (A1); A1:=A; B1:=B; ClrScr;

N:=4; X0:=0; Y0[1]:=Cosinus; Y0[2]:=Sinus; Y0[3]:=0; Y0[4]:=0;

Writeln (‘час швидкості координати’);

Writeln; X:=X0; Xpr:=0; Y[4]:=Y0[4];

While Y[4]>=0 do

Begin

If X>=Xpr Then

Begin

Writeln (‘t=’, X:6:3, ‘Vx=’, Y0[1]:6:3, ‘Vy=’, Y0[2]:6:3, ‘X=’, y0[3]:6:3, ‘Y=’, Y0[4]:6:3);

Xpr:=Xpr+Hpr

End;

Runge Kut (N, X, Y0, Y, H); Y0:=Y

End;

Writeln; Writeln (‘для продовження натисніть будь-яку клавішу’);

Repeat Until KeyPressed

End.}

{наступний блок – для зображення траєкторій при декількох наборах параметрів}

Begin

DetectGraph (J, M); InitGraph (J, M, ‘ ‘);

L:=1; A1:=A; B1:=B; Sinus:=Sin (A1); Cosinus:=Cos (A1);

While L<5 do

Begin

N:=4; {кількість рівнянь в системі}

X0:=0; Y0[1]:=Cosinus; {початкові умови}

Y0[2]:=Sinus; Y0[3]:=0; Y0[4]:=0;

SetColor (L); Line (400, 50+20*(L-1), 440, 50+20*(L-1));

OutTextXY (450, 50+20*(L-1), ‘1=’);

Str (L, LS); OutTextXY (480, 50+20*(L-1), LS); X:=X0; Y[4]:=Y0[4];

While Y[4] >=0 do

Begin

Runge Kut (N, X, Y0, Y, H); Y0:=Y;

PutPixel (Abs (Trunc (Y0[3]*500)), GetMaxY-Abs (Trunc (Y0[4]*500)), L);

End;

B1:=B1*10; L:=L+1

End;

OutTextXY (10, 50, ‘для продовження натисніть будь-яку клавішу’);

Repeat Until KeyPressed; CloseGraph

End.

Приведемо приклад. Розглянемо політ чавунного ядра радіуса R=0,07 м, випущеного з початковою швидкістю =60 м/с під кутом =45 до поверхні Землі. Визначимо, яку відстань пролетить ядро, на яку максимальну висоту воно підніметься, а також прослідкуємо, як зміниться швидкість польоту з часом. Вирішуватимемо обезрозмірене рівняння, щоб скоротити число параметрів. Обчислимо значення параметрів а і b, після чого розв’яжемо систему диференціальних рівнянь. Врахуємо, що щільність чавуну кг/м.



Розрахунки повторювались, спочатку з кроком 0,1, потім – удвічі меншим і т.д., поки не був отриманий прийнятний крок, при якому досягається точність 10. Ясно, що розрахунки треба проводити до тих пір, поки ядро не досягне землі, тобто поки Y не стане рівним 0. У розглянутому вище прикладі опір середовища чинить незначний вплив на рух тіла.

Висновок

Отже, з розглянутих вище прикладів видно, що комп’ютерне моделювання дуже широко використовується у фізиці. З його допомогою можна описати і обчислити багато фізичних явищ і процесів, а саме:

  • вільне падіння тіла з врахуванням опору середовища;
  • рух тіла, кинутого під кутом до горизонту; закони подібності;
  • рух тіла зі змінною масою: зліт ракети;
  • рух небесних тіл;
  • рух заряджених частинок;
  • рух математичного маятника:
    • рух маятника за наявності тертя;
    • вимушені коливання;
    • параметричні коливання;
    • багатогранність завдання про одновимірні коливання;
  • моделювання явищ і процесів в наближенні суцільного середовища;
  • моделювання процесу теплопровідності:
    • рівняння теплопровідності;
    • рівняння теплопровідності в трьохвимірному випадку;
    • початкові і кінцеві умови.

    Модель потрібна для того, щоб зрозуміти, як влаштований конкретний об’єкт, яка його структура, основні властивості, закони розвитку і взаємодії з навколишнім світом (розуміння);

Модель потрібна для того, щоб навчитися управляти об’єктом або процесом і визначити якнайкращі способи управління при заданих цілях і критеріях (управління);

Модель потрібна для того, щоб прогнозувати прямі і непрямі наслідки реалізації заданих способів і форм дії на об’єкт (прогнозування).

Найважливішим етапом моделювання є розділення вхідних параметрів по ступеню важливості впливу їх змін на вихідні. Такий процес називається ранжируванням.

Наступний етап – пошук математичного опису. На цьому етапі необхідно перейти від абстрактного формулювання моделі до формулювання, що є конкретне математичне наповнення. У цей момент модель предстає перед нами у вигляді рівняння, системи рівнянь, системи нерівностей, диференціального рівняння або системи таких рівнянь.

Коли математична модель сформульована, вибираємо метод її дослідження. Для цього є декілька конкретних методів, що розрізняються ефективністю, стійкістю. Від вірного вибору методу часто залежить успіх всього процесу.

В даний час найбільш поширеними є прийоми процедурно-орієнтованого програмування.

Після складання програми вирішуємо з її допомогою просту тестову задачу з метою усунення грубих помилок.

Потім слідує власне чисельний експеримент, і з’ясовується, чи відповідає модель реальному об’єкту.

 

Використана література

  1. Араманович І.Г., Левін В.І. Рівняння математичної фізики. – М.: Наука, 1969.
  2. Білошапка В.К. Інформаційне моделювання в прикладах і задачах. – Омськ: Вид-во ОГПІ, 1992.
  3. Горстко А.Б. Познайомтесь з математичним моделюванням. – М.: Знання, 1991.
  4. Гулд Х., Тобочник Я. Комп’ютерне моделювання в фізиці: Пер. з англ. Т. 1, 2. – М.: Світ, 1990.
  5. Демидович Б.П., Марон І.А. Основи обчислювальної математики. – М.: Наука, 1970.
  6. Заварикін В.М., Житомирський В.Г., Лапчик М.П. Чисельні методи. – М.: Просвіта, 1990.
  7. Кондаков В.М. Математичне програмування. Елементи лінійної алгебри і лінійного програмування. – Перм: Вид-во ПГУ, 1992.
  8. Математичне моделювання: Пер. з англ./ Під ред. Дж. Ендрюса, Р. Мак-Лоуна. – М.: Світ, 1979.
  9. Мигулін В.В., Медведєв В.І., Мустель Е.Р., Паригін В.Н. Основи теорії коливань. – М.: Наука, 1988.
  10. Стрєлков С.П. Введення в теорію коливань. – М.: Наука, 1964.
  11. Могильов А.В., Пак Н.І., Хьоннер Е.К. Інформатика: Навчальний посібник для студентів педагогічних вузів. – М.: Академія, 1999.
ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Курсова робота з інформатики (654.0 KiB, Завантажень: 5)

завантаження...
WordPress: 23.15MB | MySQL:26 | 0,561sec