Курсова робота на тему:«ЗАДАЧІ ОПТИКИ ТА МЕХАНІКИ, ЩО ПРИВОДЯТЬ ДО ОДНОРІДНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ»

План

Вступ    3

1. ІЗОГОНАЛЬНІ ТРАЄКТОРІЇ    5

Задача 1.    5

2. ГЕОМЕТРИЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ    7

Задача 2.    7

Задача 3.    10

Задача 4.    11

3. ДЗЕРКАЛО, ЩО ФОКУСУЄ ПАРАЛЕЛЬНІ ПРОМЕНІ    14

Задача 5.    14

4. ТРАЄКТОРІЇ ПОЛЬОТУ ЛІТАКІВ    16

Задача 6.    16

Задача 7.    21

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ    24

 

Вступ

У цій курсовій роботі розглядаються задачі, які приводять до однорідних диференціальних рівнянь першого порядку. Рівняння для визначення функції називають диференціальним, якщо в ньому беруть участь диференціали або похідні шуканої функції. Таким чином, диференціальне рівняння враховує не тільки величину шуканої функції, але і поведінку її (перш за все швидкість зміни в тому або іншому напрямі) в нескінченно малому околі даного значення аргументу.

Розв’язком диференціального рівняння називають функцію, задану на зв’язній множині і перетворює диференціальне рівняння в тотожність. Характерною особливістю диференціального рівняння є те, що кожне рівняння визначає відразу ціле сім’ю розв’язків, залежних від деякої сукупності числовых або функціональних параметрів.

Диференціальне рівняння зазвичай виражає деякий загальний закон, якому підкоряється нескінченна безліч конкретних процесів. Для виділення конкретного процесу, якому відповідає окремий розв’язок диференціального рівняння, вказуються додаткові умови — початкові і кінцеві, названі в сукупності краєвими.

Існують два основні типи диференціальних рівнянь: звичайні, такі, що визначають функції однієї змінної, і в часкових похідних, в які входять похідні від шуканої функції за деякими змінними.

Порядком диференціального рівняння називають порядок старшої похідної, що бере участь в рівнянні.

Диференціальне рівняння має нормальну форму, якщо воно розв’язане відносно старшої похідної. У протилежному випадку форма диференціального рівняння вважається загальною. До окремого виду відносяться лінійні диференціальні рівняння.

Однорідною функцією називається функція, що задовольняє умов


де — довільне число; n — ступінь однорідності.

Інтеграція однорідного диференціального рівняння вигляду

(1)

проводиться методом підстановки.

Якщо і однорідні функції своїх аргументів однакового ступеня, то рівняння (1) зводиться до рівняння з що розділяються змінними підстановкою

,

звідки


Можна також користуватися підстановкою


звідки


 

1. ІЗОГОНАЛЬНІ ТРАЄКТОРІЇ

Задача 1. Знайти ізогональну траєкторію пучка прямих з центром на початку координат.

Розв’язання. Ізогональними траєкторіями називаються криві, створюючі в кожній своїй точці постійний кут з тією, що проходить через цю точку прямої пучка (мал. 1).

Нехай рівняння даного пучка


Покладемо .

Позначимо поточні координати точки траєкторії через ; кутовий коефіцієнт дотичної до траєкторії в цій точці буде .

За умовою


У будь-якій точці завжди (з рівняння пучка). Тому



або

(1.1)


Рівняння (1.1) є однорідним рівнянням, і для його розв’язання застосуємо підстановку

(1.2)

Підставляючи вирази (1.2) в рівняння (1.1), отримуємо


або після групування членів

(1.3)

У рівнянні (1.3) розділяємо змінні


Інтегруємо:


або

(1.4)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Zadachi Opt I Mech (252.2 KiB, Завантажень: 1)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Zadachi Opt I Mech (714.0 KiB, Завантажень: 2)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6
завантаження...
WordPress: 23.6MB | MySQL:26 | 1,372sec