Курсова робота на тему:«КОМФОРНІ ВІДОБРАЖЕННЯ, ЗДІЙСНЮВАНІ ЕЛЕМЕНТАРНИМИ ФУНКЦІЯМИ»

Зміст

1. Деякі властивості конформних відображень                        2

2. Відображення здійснювані лінійною і дробово- лінійною функціями        5

3. Відображення, здійснювані степеневої функцією і функцією Жуковського    11

4. Відображення, здійснювані показовою логарифмічною і тригонометричною функціями                                                19

Вступ

Курсова робота присвячена важливій темі, а саме “Конформні відображення, здійснювані елементарними функціями”. Дана тема є одним з окремих розділів математичного аналізу. Вона складається з таких пунктів:

1. Деякі властивості конформних відображень

2. Відображення здійснювані лінійною і дробово-лінійною функціями

3. Відображення, здійснювані степеневою функцією і функцією Жуковського

4. Відображення, здійснювані показовою, логарифмічною і тригонометричною функціями.

Тому дуже корисно ознайомитися для початку з означенням комфорного відображення. Взаємно-однозначне відображення області D комплексної площини (z) на область G площини (w) називається конформним в область D, якщо в усіх точках zD воно володіє властивостями збереження кутів і постійності розтягувань.

А також тут застосовуються різні формули та теореми які дуже часто потрібні при розв’язані різних задач в математичному аналізі.

Отож, ми бачимо, що дана тема під час вивчення математичного аналізу зокрема є досить актуальною та потрібною.

1. ДЕЯКІ ВЛАСТИВОСТІ КОНФОРМНИХ ВІДОБРАЖЕНЬ

1. Означення. Було відмічено, що здійснюване аналітичною функцією f (z) з f1 (z1)0 відображення околиці точки z0 на околицю точки w0 володіє в цій крапці г0 властивостями консерватизму кутів і постійності розтягувань і називається конформним відображенням в точці z0. Дамо визначення конформного відображення області на область.

Взаємно-однозначне відображення області D комплексної площини (z) на область G площини (w) називається конформним в облає D, якщо в усіх точках zD воно володіє властивостями збереження кутів і постійності розтягувань.

З геометричного сенсу аргументу і модуля похідної ясно, що якщо функція w = f (z) однолиста в області D і аналітична в цій області, причому f1 (z)0, zD, то f (z) конформно відображає область D на деяку область G площини (w).

Встає питання про з’ясування властивостей функцій, що здійснюють конформні відображення областей. Відповідь на це питання дає наступна теорема.

Теорема 1. Якщо відображення області D на область G, здійснюється функцією f (z)r комфорного та f (z) є однолистою і аналітичною в області D функцією, причому f1 (z)0, zD,.

Однолистість функції f{z) в області D виходить з взаємної однозначності відображення області D на область. Отже, необхідно встановити аналітичну функцій f (z) в області D, тобто існування безперервною в області D похідної f1 (z), і співвідношення f1 (z)0, zD. Відмітимо при цьому, що методи доказу безперервності f1(z) виходять за рамки справжнього курсу, а тому обмежимося доказом існування f1(z) в області D. Оскільки відображення f(z) комформно в D, ‘то. у будь-якій точці z0D виконуються властивості збереження кутів і постійності розтягувань Це означає, що для будь-яких двох точок z1 = z0 +z1 і z2 = z0 +z2 з околі точки z0 і їх образів w1=w0+w1 і w2=w0+w2 виконані співвідношення

arg w2 — arg w1 = arg z2 — arg z1        (1)

і з точністю до нескінченно малих вищого порядку, ніж max {|z1|z2|}, має місце рівність

 

(2)

Якщо позначити arg через а, то з (1) витікає, що і arg= , і з (2) витікають співвідношення (з точністю до нескінченно малих)


тут точки z1 і z2 довільні, тому

, тобто існує f1 (z)0.

 

Ho z0 — довільна точка області D, тобто для будь-яких zD існує f1 (z), причому f1 (z)0.

За визначенням, комфорне відображення зберігає як кути між кривими, так і напрям відліку цих кутів. Якщо ж розглянути відображення w = z, що є дзеркальним відображенням



Мал.12 .,

щодо осі абсцис, то воно зберігає величину кута, а напрям відліку міняється на протилежний. Виявляється, що такою властивістю володіє будь-яке відображення, що є зв’язаним до аналітичного. Відображення f (z), де f (z) — аналітична області D функція, називається комфорним відображенням другого роду.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Komforni Vidobr (571.5 KiB, Завантажень: 5)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7
завантаження...
WordPress: 23.26MB | MySQL:26 | 0,505sec