Курсова робота на тему:«КЛАСИФІКАЦІЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ В ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ ДРУГОГО ПОРЯДКУ»

Зміст

Вступ

1. Загальні відомості про диференціальні рівняння з частинними похідними.

2. Диференціальні рівняння другого порядку з двома незалежними змінними та їх класифікація.

3. Класифікація лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з багатьма незалежними змінними.

4. Канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

5. Рівняння Трікомі.

6. Приклади рівнянь з двома незалежними змінними гіперболічного, параболічного та еліптичного типу.

7. Приклади лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з багатьма незалежними змінними.

8. Приклад лінійного диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами.

Висновок

Список літератури

Вступ

При математичному описанні різних явищ природи часто приходять до математичних моделей у вигляді рівнянь, які містять незалежні змінні, невідому функцію та її похідні. Такі рівняння називають диференціальними. Вперше цей термін було введено Г. В. Лейбніцем у 1676 році. З виникненням і наступним розвитком теорії диференціальних рівнянь природознавство дістало могутній засіб моделювання та дослідження різноманітних найскладніших задач науки і техніки. Математичний апарат диференціальних рівнянь дає змогу проникнути в мікросвіт детермінованих явищ і процесів, описати механізм їх розвитку і тим самим передбачити їх майбутнє.

Ще наприкінці 17 ст. потреби практики, пов’язані з розвитком суспільних відносин і обумовлені технічним прогресом у всіх галузях людської діяльності, поставили перед вченими-математиками ряд нових задач, розв’язання яких вимагало розробку принципово нових методів. У таких історичних умовах починається бурхливий розвиток диференціального та інтегрального числення.

Вивчення проблем динаміки твердого тіла, а також деяких геометричних задач методами диференціального та інтегрального числення призвело до виділення простіших класів диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку.

В сучасних умовах розвитку математики багато уваги приділяється розвитку диференціальних рівнянь, зокрема їх видів. Тому темою своєї курсової роботи я обрала тему:”Класифікація диференціальних рівнянь в частинних похідних другого порядку.”

Мета моєї курсової роботи полягає в тому, щоб розглянути питання класифікації та зведення до канонічного вигляду диференціальні рівняння другого порядку з двома та багатьма незалежними змінними .

Багато задач математичної фізики приводять до диференціальних рівнянь з частинними похідними . Найбільш часто зустрічаються диференціальні рівняння другого порядку. В шкільному курсі математики розглядаються звичайні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Тому у першому пункті курсової роботи викладено загальні відомості про диференціальні рівняння з частинними похідними. У другому пункті розглянуто класифікацію лінійних диференціальних рівнянь другого порядку з багатьма незалежними змінними в точці та в області.

Третій пункт є основним і найважливішим. Тут розглянуто канонічні форми лінійних диференціальних рівнянь другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Особливу увагу приділяють вивченню рівняння Трікомі, яке належить до змішаного типу. Саме в четвертому пункті і розглядається це рівняння.

В наступних трьох пунктах розглянуто приклади різних диференціальних рівнянь другого порядку. Зокрема у п’ятому пункті наведено приклади рівнянь з двома незалежними змінними гіперболічного, параболічного та еліптичного типів. А у шостому пункті показано, як визначити тип і звести до канонічного вигляду лінійні диференціальні рівняння другого порядку з багатьма незалежними змінними. Також у курсовій роботі показано, як звести до канонічного вигляду лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами. Про це можна дізнатися в останньому пункті курсової роботи — в сьомому пункті.

Слід також зазначити, що в математиці досліджено не лише конкретні методи розв’язування рівнянь, а й загальні питання коректності постановки задач, питання існування та єдності їх розв’язків.

1. Загальні відомості про диференціальні рівняння з частинними похідними.

У курсі «Диференціальні рівняння» вивчаються звичайні диференціальні
рівняння, тобто рівняння виду

,

де — шукана функція, — похідна цієї функції -го порядку, — незалежна змінна. Відомо, що загальний розв’язок такого рівняння залежить від довільних сталих, тобто загальним розв’язком даного рівняння є функція


диференційовна за зміною до -го порядку включно, при підстановці якої та відповідних її похідних в рівняння, одержуємо тотожність у кожній точці області визначення рівняння. Зрозуміло, що для виділення із формули конкретного (часткового) розв’язку даного рівняння потрібно на шуканий розв’язок накласти деякі додаткові умови. Ці умови можуть бути початковими або крайовими. У першому випадку матимемо задачу Коші, а в другому — крайову задачу. При певних обмеженнях розв’язки цих задач існують, єдині і неперервно залежать від початкових чи крайових даних.

У даній роботі розглянуто більш складні рівняння, а саме — диференціальні
рівняння з частинними похідними, під якими розумітимемо рівняння, що зв’язують невідому функцію декількох змінних та її частинні похідні до певного порядку. При цьому, найвищий порядок похідної, яка бере участь у рівнянні, називають порядком рівняння. Наприклад, якщо функція , то диференціальними рівняннями з частинними похідними будуть рівняння:


Диференціальні рівняння з частинними похідними першого порядку, тобто рівняння виду


вивчаються у курсі звичайних диференціальних рівнянь.

А в даній курсовій роботі будуть розглянуті рівняння другого порядку, тобто рівняння виду


де — шукана функція,

До таких рівнянь приводять задачі фізики, механіки, техніки. Як правило, будуть розглядатися конкретні рівняння типу

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Klasyf Dyf Rivn V Ch Poh (747.0 KiB, Завантажень: 18)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
завантаження...
WordPress: 23.61MB | MySQL:26 | 0,496sec