Курсова робота на тему:«ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ»

Зміст

Вступ .Поняття функції комплексної змінної……………………………. 3

1.Класифікація елементарних функцій ………………………………….. 4

2.Трансцендентні функції комплексної змінної ………………………… 5

2.1 Властивості трансцендентних функцій……………………………. 6

3. Гіперболічні функції …………………………………………………….. 9

4. Логарифмічна функція ……………………………………………………9

5. Обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції ………… 11

6. Степінь з довільним цілим показником ……………………………… .12

6.1 Загальна степенева і показникова функції ………………………… 14

7. Ціла лінійна функція……………………………………………….16

7.1 Функція w = …………………………………………………16

7.2 Загальна лінійна функція…………………………………17

Список використаної літератури…………………………………………22

 

 

Вступ. Поняття функції комплексної змінної.


Нехай дано множину Е комплексних чисел. Якщо кожному числу z є
Е за певним законом поставлено у відповідність одне або кілька комплексних чисел w, то кажуть, що на множині Е визначено функцію комплексної змінної, і пишуть w = f(z). Множина Е при цьому називається областю визначення
або областю існування функції, z –
незалежною змінною або аргументом, wзалежною змінною або функцією. Якщо кожному числу z
Е ставиться у відповідність тільки одне число w , то функція w = f (z) називається однозначною; в протилежному разі вона називається многозначною.

Позначимо через F множину всіх значень функції w = f (z) для z
Е. Зобразимо комплексні числа z з множини Е у вигляді точок комплексної площини (z), а комплексні числа w з множини F – у вигляді точок площини (w). Відповідні множини точок позначатимемо тими ж буквами Е і F. Отже, функція w = f (z) встановлює відповідність між точками множини Е і F. У цьому разі кажуть, що функція w = f (z) здійснює відображення множини Е точок площини (z) на множину F точок площини (w).

Припустимо, що функція w = f (z) однозначна. Тоді кожній точці z з множини Е поставимо у відповідність одну і тільки одну точку з множини F. При цьому дві або кілька точок множини Е можуть бути поставлені у відповідність одній точці з множини F.

Візьмемо довільну фіксовану точку w з множини F і поставимо їй у відповідність ті точки множини Е, яким функція w = f (z) поставила у відповідність точку w. Цим самим на множині F визнано функцію z = φ(w), яка називається оберненою функцією до функції w = f (z) і позначається так: z= f -1 (w). Функція w = f (z) при цьому називається прямою функцією. Якщо пряма функція w = f (z) однозначна, то обернена функція z= f -1 (w) може бути як однозначною, так і многозначною.

У даній роботі викладені властивості елементарних функцій комплексного зміного.

1.Класифікація елементарних функцій

Функцію виду

Р(z) = а0 +a1z + … + anzn,

де а0,a1, …, ап сталі комплексні числа, причому ап0, назвали цілою раціональною функцією або многочленом степеня п, а функцію виду

R(z) = (1)

де Р1 (z) і Р2 (z) – многочлени, причому Р2 (z) ≠ 0,раціональною функцією.

Зрозуміло, що множина всіх раціональних функцій включає в себе множину всіх цілих раціональних функцій. Раціональну функцію (1) можна розглядати також як корінь алгебраїчного рівняння першого степеня відносно w Р2 (z) w – P1 (z) = 0.

Ця обставина дає змогу узагальнити поняття раціональної функції.Функція w, що є коренем алгебраїчного рівняння степеня п ≥ 1 відносно w

P0(z) + P1(z)w+ … +Pn(z)wn = 0,     (2)

в якому Р0 (z), P1
(z), …, Рn(z) – цілі раціональні функції, причомуPn (z) ≠ 0, називається алгебраїчною.

Припустимо, що многочлени Рk (z) (k = 0, 1, …, п) у рівнянні (2) не мають спільних коренів. Якщо число z-фіксоване і Рп (z) ≠ 0, то це рівняння має скінченну кількість коренів. Тому алгебраїчна функція скінченнозначна. Щоб дістати функцію, обернену до алгебраїчної, перепишемо рівняння (2), упорядкувавши ліву частину його за зростаючими степенями z,

g0(w) + g1(w)z+ … +gn(w)zn = 0.    (3)

Тут gi (w) (і = 0, 1, 2, …, n) — многочлени відносно w. Розв’язок рівняння (3) згідно з означенням є алгебраїчною функцією. Таким чином, функція, обернена до алгебраїчної, є алгебраїчною. Всі неалгебраїчні функції називаються трансцендентними. Такими функціями, очевидно, будуть усі періодичні функції, відмінні від сталої. Справді, функція, обернена до періодичної, не-скінченнозначна, а обернена до алгебраїчної — алгебраїчна і, отже, скінченнозначна (виключаємо з розгляду сталу функцію). Отже, показникові, тригонометричні, гіперболічні, логарифмічні, обернені тригонометричні і обернені гіперболічні функції є трансцендентними функціями.

2.Трансцендентні функції комплексної змінної

Розглянемо степеневі ряди:


За ознакою Д’Аламбера неважко показати, що кожний з цих рядів абсолютно збігається в усій комплексній площині. Переконаємося в цьому на прикладі ряду в). Границя відношення модуля (п + 1) – го члена до модуля n-го члена цього ряду в точці z 0 дорівнює


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Elem Funk Kompl Zm (77.6 KiB, Завантажень: 9)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Elem Funk Kompl Zm (648.6 KiB, Завантажень: 4)

Сторінка: 1 2 3 4 5
завантаження...
WordPress: 23.09MB | MySQL:26 | 0,357sec