Курсова робота на тему: «ЗАГАЛЬНІ ВЛАСТИВОСТІ ЗАДАЧІ НАЙКРАЩОГО НАБЛИЖЕННЯ»

Зміст

Вступ    3

1. Постановка задач і загальні властивості найкращого наближення    5

1.1. Задачі теорії наближення    5

1.2 Загальні властивості найкращого приближення.    9

1.3 Загальні теореми існування і єдності елемента найкращого наближення.    13

2. Двоїстість екстремальних задач в лінійних нормованих просторах    15

2.1 Теорема Хана – Банана і віддільність випуклих множин.    16

2.2 Теореми двоїстості в випадку наближення кінцево вимірним підпростором    17

2.3 Співвідношення двоїстості в випадку наближення випуклою замкнутою множиною    20

2.4 Критерії елемента найкращого наближення, що випливає з співвідношення двоїстості.    26

Висновок    34

Список використаної літератури    35

 

Вступ

Теорія наближення — одна із найбільш інтенсивно розвивається областей математики.

В останні десятиліття спостерігається проникнення ідеї і методів теорії апроксимації в різноманітні розділи математичної науки, особливо прикладних напрямків. Одночасно з цим перебудовується і ставиться на більш широку і стійку основу фундамент теорії наближення, закладений класичними роботами Чебешева і Вейєршраса, Джексона і Бернштейна про наближення многочленами індивідуальних функцій і цілих їх класів.

Задачі апроксимаційного змісту, що задаються на класи функцій (чи, більш загально, на множинах довільного бананового простору), в багатьох випадках є задачами на екстремум: потрібно знайти точну верхню межу похибки наближення заданим методом на фіксованому класі функцій чи вказати для цього класу найкращий апарат наближення.

Такого роду задачі і розглядаються в цій курсовій роботі на тему “Загальні властивості задачі найкращого наближення”. Однак вибір матеріалу визначався не тільки екстремальним характером задач. В основі роботи покладені дослідження за екстремальними задачами теорії найкращого наближення функцій дійсної змінної, в яких отримані кінцеві результати, тобто рішення доведено до точних сталих, і де ні зменшити, ні збільшити, по суті, нічого не можна. Метою роботи є дослідження загальних властивостей задач найкращого наближення.

Слід сказати, що найбільш суттєві результати кінцевого характеру, отримані на класах періодичних функцій, що, між іншим, неважко пояснити: класи періодичних функцій володіють певною симетрією екстремальних властивостей, в той же час як на екстремальних властивостях функцій, заданих на скінченному відрізку, суттєво відображається суперечлива дія кінців проміжку. Розглядаючи екстремальні задачі на конкретних класах функцій, я в цій роботі обмежуюся періодичним випадком.

Підкреслимо, що основний зміст роботи пов’язаний із задачами найкращого наближення. Хоча я і розглядаю питання про найкращі лінійні методи апроксимації, широке коло фактів і результатів, пов’язаних із екстремальними задачами для лінійних методів, залишився поза роботою.

Знайомимося з основними фактами теорії функцій дійсної змінної (зокрема, з основами теорії міри та інтеграла Лебега), а також з елементами функціонального аналізу, найзагальнішими поняттями якого я оперую протягом всієї роботи.

Курсова робота на тему “Загальні властивості задачі найкращого наближення” носить дослідницький характер.

 

  1. Постановка задач і загальні властивості найкращого наближення

1.1. Задачі теорії наближення

На сьогоднішній день в теорії наближення прийнято природнім чином виділяти три типи, а краще сказати, три цикли задач, які в певній мірі відповідають і основним хронологічним етапам розвитку досліджень в теорії апроксимації.

    Ці три цикли задач сформулюємо в довільному лінійному нормованому просторі Х і будемо говорити про них як про задачі І, ІІ або ІІІ.

    Задача І.
Наближення фіксованого елемента фіксованою множиною з Х.

    В якості міри наближення природно взяти , по-перше, величину

(1.1)

яка в подальшому буде називатися найкращим наближенням елемента х множиною . (Звичайно, величина (1.1) є відстанню елемента х від множини . Але ми з самого початку приймемо, так сказати, апроксимаційну термінологію.)

    В якості апроксимуючої множини будемо розглядати підпростори (скінченної або нескінченної розмірності), а також опуклі замкнені множини.

    Якщо існує елемент , який реалізує в (1.1) точну нижню межу, тобто такий, що


то називається елементом найкращого наближення для х в множині (або найближчим до х елементом в ).

    Виникають наступні питання, що стосуються задачі І:

    1) Чи існує для будь-якого х з Х в множині елемент найкращого наближення? Зрозуміло, що для позитивної відповіді на це питання необхідно, щоб була замкнена.

    Множина , яка володіє властивістю, що для будь-якого в ній є найближчий елемент, називають іноді множиною існування.

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Zag Vl Zad Najkraschchogo Nabl (742.3 KiB, Завантажень: 8)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
завантаження...
WordPress: 23.74MB | MySQL:26 | 0,404sec