Курсова робота на тему: «ЗАДАЧА НАЙКРАЩОГО СУМІСНОГО НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ ТА ЇХ ПОХІДНИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ПОЛІНОМАМИ»

Вступ.

В роботі розглядається задача найкращого сумісного наближення функцій з класу та їх похідних тригонометричними поліномами.

Клас , де , – довільне дійсне число, складається з функцій , які можна подати у вигляді розгортки

    (1).

де , а функція задовольняє умовам:

,              (2).

Функцію `називають ядром Бернуллі, а функцію називають – похідною функції у розумінні Вейля-Надя і позначають . Якщо , то клас позначають ще , а – похідну в розумінні Вейля-Надя називають -тою похідною Вейля. Оскільки , то співпадають з класами функцій , звичайна -та похідна яких задовольняє умові (2).

Нехай – фіксований набір натуральних чисел, таких, що , і – тригонометричні поліноми порядку .

Якщо деяка функція має розклад в ряд Фур’є:

,          (3)

то , похідною цієї функції називають функцію , для якої справедлива рівність:     (4).

Величиною найкращого сумісного наближення функції з класу та їх похідних називають величину , (5).

Де – тригонометричні поліноми порядку , а – похідні функції , для яких справедлива рівність (4). Легко бачити, що при , задача відшукання величини (5) зводиться до відомої задачі найкращого наближення диференційованих функцій тригонометричними поліномами.

Постановка задачі.

Дана робота присвячена розв’язанню задачі найкращого сумісного наближення функцій та їх похідних тригонометричними поліномами на класі , а конкретно, знаходженню величини :

.

Задача сумісного наближення періодичних функцій та їх похідних в аналогічній постановці бере свій початок у роботах І.О.Степанця. В них розглянуто наближення функцій та їх похідних сумами Фур’є, що характеризуються величиною:


,         (6)

де – фіксований набір дійсних чисел, таких, що , а – частинна сума порядку ряду Фур’є функції .

Поняття найкращого наближення окремої неперервної на функцій на метриці алгебраїчними поліномами степеня ввів у середині минулого століття П.Л.Чебишев. Найкращим наближенням на називається величина:

,

де мінімум береться зі всіх алгебраїчних поліномі степеня :

.

Таким же чином визначається найкраще наближення неперервної періодичної функції тригонометричними многочленами


степеня :

,      (7)

а також можна було б вводити поняття найкращого наближення у різних інших метриках. Многочлен, для кого цей мінімум досягається, називають мнгогочленом найкращого наближення.

В даній роботі знайдені значення величини при і деяких обмеження на числа . Основною метою моєї роботи є відшукання величини найкращого сумісного наближення класу диференційованих функцій та їх похідних тригонометричними поліномами. Основними результатами роботи є теореми:

Теорема 1. Нехай , при чому , числа , ; чи , , тоді при довільному натуральному справедлива рівність

,

де

,

,

і є коренем рівняння

.

Теорема 2. Нехай , . Якщо при
– цілі непарні числа, ; а при виконуються умови і то при довільному натуральному

,

де

.

Теорема 3. Якщо чи 3, то для довільного набору чисел , , при будь-якому натуральному
, де .

Якщо ж чи , то для довільного набору чисел , , при будь-якому натуральному .

, де .

Теорема 4. Нехай , числа , , , задовольняють умовам леми, тоді при будь-якому натуральному справедлива рівність

,

де

,

– є коренем рівняння .

Теорема 5. 1) Нехай , , , , , тоді при будь-якому натуральному

,

де

.

2) Нехай , , , , , , тоді при будь-якому натуральному

,

де

,

– є коренем рівняння


    (6)

чи ж

,

якщо рівняння (6) коренів немає.

3) Нехай , , , тоді при будь-якому натуральному

,

де – корінь рівняння (6) при .

 

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Zad Najkr Sum Nabl (1.1 MiB, Завантажень: 4)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Zad Najkr Sum Nabl (856.6 KiB, Завантажень: 2)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
завантаження...
WordPress: 23.27MB | MySQL:26 | 0,342sec