Курсова робота на тему: «ТЕОРІЯ ЛИШКІВ ТА ЇЇ ЗАСТОСУВАННЯ»

Зміст

Вступ    3

Допоміжні означення і твердження.    4

Поняття лишку та його обчислення.    4

Основна теорема про лишки.    7

Застосування теорії лишків.    9

Список літератури    18

Вступ

Важливе місце в теорії функцій комплексного змінного посідає теорія лишків. Теореми про лишки дозволяють зводити обчислення інтегралів від комплексних функцій по замкненому контуру до знаходження лишків підінтегральної функції всередині контуру. Таким же способом можуть бути обчислені і означені інтеграли від функцій дійсного змінного. При цьому часто вдається досить просто знаходити з допомогою лишків означені інтеграли у випадках, коли застосування методів математичного аналізу виявляється не ефективним. Отже, як ми бачимо, теорія лишків має численне застосування, що спрощує розв’язання багатьох задач інтегрального числення.

Темою своєї курсової роботи я обрала таку тему: «Теорія лишків та її застосування». Моя курсова робота написана з метою показати, як можна з допомогою лишків досить просто знаходити означені інтеграли. Курсова робота складається з таких пунктів:

— допоміжні означення і твердження. Допоміжні означення і твердження використовуються для того, щоб ми могли змістовно обґрунтовувати новий матеріал, спираючись на вже відомий.

— поняття лишку і його обчислення. В цьому пункті вводиться поняття лишку і його обчислення в залежності від типу особливої точки функції.

— основна теорема про лишки. Цей пункт складається з теореми, яка має дуже важливе значення в теорії лишків, і її доведення.

— застосування теорії лишків. У цій частині курсової роботи вказуються деякі із застосувань теорії лишків, які мають важливе практичне значення. Це принцип аргументу, теорема Руше та ще декілька прикладів про застосування лишків до обчислення означених інтегралів.

Таким чином, ознайомившись з теорією лишків, ми можемо обчислювати набагато більше інтегралів, які раніше були нам не під силу.

Допоміжні означення і твердження.

Ряд виду: називається рядом Лорана. Числа називаються коефіцієнтами цього ряду. Ряд Лорана треба розуміти як суму двох рядів

        і     

перший з яких називається правильною частиною ряду Лорана, а другий — головною частиною цього ряду.

Теорема. (Лорана). Кожну функцію , однозначну і аналітичну в круговому кільці , можна подати в цьому кільці збіжним рядом Лорана


коефіцієнти цього ряду визначаються за формулою


де — коло радіуса з центром у точці ,

Теорема. (Основна теорема алгебри). Всякий многочлен з комплексними коефіцієнтами, степеня , має принаймні один комплексний корінь.

Поняття лишку та його обчислення.


Нехай — однозначна аналітична функція в області За теоремою Лорана її можна розвинути в ряд Лорана

        (1)

який збігається до для . Коефіцієнт , що стоїть при в лорановому розвиненні (1) однозначної аналітичної функції , називається лишком цієї функції відносно точки і позначається Цей коефіцієнт можна подати через інтеграл від функції по колу радіуса з центром у точці .

        (2)

Отже, лишок функції можна було б визначити через інтеграл від функції

            (3)

Якщо є усувною особливою точкою функції , то в її лорановому розвиненні коефіцієнти для . Тому лишок функції відносно усувної особливої точки дорівнює нулю. Цей самий результат ми дістали б, якби обчислили лишок за формулою (3). Справді, якщо — усувна особлива точка функції , то ця функція для дорівнює сумі степеневого ряду Позначимо його суму через Функція є аналітичною в крузі і за інтегральною теоремою Коші Оскільки для , то



Якщо — полюс або істотно особлива точка, то лишок функції відносно такої точки, взагалі кажучи, відмінний від нуля.

Залишок щоразу можна обчислювати за формулою (3), але якщо — полюс, то його можна знайти інакше.

Припустимо, що — простий полюс функції . Тоді лоранове розвинення функції в околі точки матиме вигляд

звідки


і, отже,


        (4)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Teor Lyschkiv Ta Jih Zastos (851.5 KiB, Завантажень: 16)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7
завантаження...
WordPress: 23.13MB | MySQL:26 | 0,321sec