Курсова робота на тему: «РЕАЛІЗАЦІЯ МЕТОДІВ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ (МЕТОД ЕЙЛЕРА, МЕТОД РУНГЕ-КУТТА) НА МОВІ ПАСКАЛЬ»

Зміст

Вступ    2

Розділi     I. Теоретична частина    4

1.1. Методи Рунге-Кутта    5

1.1.1. Метод Рунге-Кутта для системи рівнянь    9

1.1.2. Метод Рунге-Кутта першого порядку точності    12

1.1.3. Метод Рунге-Кутта другого порядку точності    13

1.1.4. Метод Рунге-Кутта третього порядку точності    13

1.1.5. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку точності    14

1.2. Метод Ейлера    16

1.2.1. Удосконалений метод Ейлера    16

1.2.2. Удосконалений метод Ейлера    18

1.2.3. Удосконалений метод Ейлера-Коші    19

Розділ IІ. Реалізація методів розв’язування диференціальних рівнянь    21

2.1. Структура програми на мові Паскаль    21

2.2. Метод Ейлера    23

2.3. Удосконалений метод Ейлера-Коші    25

2.4. Метод Рунге-Кутта    27

Висновки    29

Використана література    31

Вступ

При вирішенні багатьох проблем математичної фізики та сучасної техніки виникають задачі, пов’язанні з прикладною математикою. Широке застосування комп’ютерів у практиці, розв’язання прикладних задач викликало необхідність у розробці більш ефективних та удосконалених обчислювальних методів. А саме таких методів, як інтерполювання, розв’язання систем лінійних та нелінійних рівнянь, обчислення власних значень матриць, задач Коші, лінійних та нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, та диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Дані методи найпростіше реалізуються на мові програмування Паскаль (Pascal). Паскаль призначається для навчальних цілей – для викладання основ програмування студентам – майбутнім спеціалістам в області інформатики. Дуже швидко мова завоювала популярність не тільки в середовищі викладачів і студентів, але й серед професіоналів.

Основними особливостями мови Паскаль є:

  1. Простота і природність мови. Наслідком цього є малий обсяг пам’яті, що займає транслятор і досить короткий опис конструкції мови. Разом з тим Паскаль дає змогу писати програми, складні за своєю структурою. Ця мова, зокрема використовується, як мова системного програмування.
  2. Побудова мови за принципами структурного програмування та структурної організації даних. Паскаль явно містить засоби, що реалізують основні керуючі структури класичного структурного програмування.
  3. Здійснення розробки трансляторів з мови Паскаль за допомогою доступних і добре опрацьованих методик.
  4. Транслятор дозволяє оптимізувати програму.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу, або у вигляді деякої таблиці значень.

Розділi     I. Теоретична частина

Диференціальні рівняння – окремий випадок тієї множини математичних моделей, які виникають у процесі вивчення реального світу.

На практиці застосовують здебільшого наближене інтегрування диференціальних рівнянь. Воно дає змогу знайти наближений розв’язок задачі Коші або у вигляді певного аналітичного виразу, або у вигляді деякої таблиці значень.

Розглянемо окремі методи чисельного розв’язання задачі Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку, розв’язаного відносно похідної. Наближений розв’язок задачі Коші записуються у вигляді певної таблиці значень.

Задача Коші полягає в тому, щоб знайти диференціального рівняння .

Розглянемо так звані одно крокові чисельні методи розв’язання задачі Коші , в який, щоб знайти наближений розв’язок у точці. І оскільки розв’язок задачі в точці відомий з початкових умов то ці методи дають змогу обчислити послідовно значення розв’язку в інших точках. З одно крокових чисельних методів розглянемо такі методи як метод Рунге-Кутта, метод Ейлера.

1.1. Методи Рунге-Кутта

Система звичайних диференціальних рівнянь вищого порядку за допомогою введення нових функцій можна звести до системи рівнянь першого порядку.

Розглянемо таку систему:


де
.

Цю систему можна розв’язати методом Рунне-Кутта 4-го порядку, обчислюючи за формулою


де,





, – кількість кроків інтегрування.

У програмі використовуються змінні:– кількість інтегрованих функцій; – кількість кроків інтегрування; – початкове, потім поточне значення аргументу; – кінцеве значення аргументу; – масив, що містить початкові, а потім поточні значення функції; – те саме для попереднього наближення; – масив, що містить праві частини рівнянь; – крок інтегрування; – змінні циклів.

Структура програми. 1-4заголовок процедури та опис локальних

змінних; 6 – обчислення ,
задания початкового значення змінної у1;

7-9
обчислення ; 10-12
– обчислення
та суми ; 13-15 – обчислення
16-19обчислення .

Програма Метод Рунге-Кутта четвертого порядку для системи диференціальних рівнянь

Ідея методу. Нехай и (х)—точний розв’язок задачі . При достатній гладкості функції має місце розвинення

, (1)

де .

За співвідношенням коефіцієнти при степенях у правій частині (1), виключаючи член , виражаються через значення функції та ЇЇ похідних у точці (t0, u0).

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Real Met Rozv Dyf Rivn (2.9 MiB, Завантажень: 22)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
завантаження...
WordPress: 23.38MB | MySQL:26 | 0,396sec