Курсова робота на тему: «РЕАЛІЗАЦІЯ ЧИСЕЛЬНОГО ІНТЕГРУВАННЯ ФУНКЦІЙ (ФОРМУЛА ЛІВИХ І ПРАВИХ ПРЯМОКУТНИКІВ, ФОРМУЛА ТРАПЕЦІЙ, ФОРМУЛА СІМПСОНА)»

ЗМІСТ

ВСТУП    3

Розділ I Теоретична частина    6

1.1. Чисельне
інтегрування    6

1.2. Формула прямокутників    7

1.3. Формула трапецій    12

1.4. Формула Сімпсона    15

1.5. Оцінка похибки чисельного інтегрування    18

Розділ II Реалізація методів чисельного інтегрування    20

2.1. Структура програмування на мові PASCAL    20

2.2. Метод лівих прямокутників    22

2.3. Метод правих прямокутників    24

2.5. Метод середніх прямокутників    26

2.4. Метод трапецій    28

2.6 Метод Сімпсона.    29

Висновок    32

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА    35

ВСТУП

Історія прикладної математики почалася кілька тисячоліть тому, коли були розв’язані найпростіші математичні задачі з обчислення площ, об’ємів та ін. За час, що минув, у прикладній математиці відбулося багато змін, які позначалися на її можливостях і впливах на життя суспільства. Дійсно революційне перетворення науки взагалі і математики зокрема пов’язане з появою в 40-х роках нинішнього століття електронних обчислювальних машин (ЕОМ). Ця подія привела до зміни технології наукових досліджень, до розширення можливостей вивчення складних явищ природи і суспільства, проектування сучасних технічних систем тощо. Прикладом може бути оволодіння ядерною енергією та освоєння космічного простору. Серед складних задач, які зараз стоять перед наукою, можна назвати моделювання людини, її взаємодії з природою, моделювання клімату та багато інших.

Як можна визначити коло питань, що вивчають чисельні методи? У книзі «Математический энциклопедический словарь» (М.: Сов. энцикл., 1988. — 846 с.) обчислювальна математика розглядається як розділ математики, що включає коло питань, пов’язаних з використанням ЕОМ. Зміст терміна «Методи обчислень» не можна вважати усталеним. Спочатку методи обчислень розглядали як прикладну математику. Термін «Методи обчислень» застосовується і тоді, коли мають на увазі теорію чисельних методів і алгоритмів розв’язування типових математичних задач. У рамках сучасної термінології методи обчислень — частина інформатики, яка належить до методології застосування ЕОМ для розв’язування задач науки, техніки, виробництва і практично всіх областей людської діяльності. У навчальному ж процесі методи обчислень — це сукупність методів, технічних прийомів і теоретичних результатів, необхідних для розв’язування на ЕОМ математичних моделей задач науки і техніки. До цих методів належать такі як методи інтерполювання, розв’язання систем лінійних та нелінійних рівнянь, обчислень власних значень матриць, задач Коші, лінійних та нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь та диференціальних рівнянь в частинних похідних.

При вирішенні багатьох проблем математичної фізики та сучасної техніки виникають задачі, пов’язанні з прикладною математикою. Широке застосування комп’ютерів у практиці, розв’язання прикладних задач викликало необхідність у розробці більш ефективних та удосконалених обчислювальних методів. А саме таких методів, як інтерполювання, розв’язання систем лінійних та нелінійних рівнянь, обчислення власних значень матриць, задач Коші, лінійних та нелінійних крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь, та диференціальних рівнянь в частинних похідних.

Дані методи найпростіше реалізуються на мові програмування Паскаль (Pascal). Паскаль призначається для навчальних цілей – для викладання основ програмування студентам – майбутнім спеціалістам в області інформатики. Дуже швидко мова завоювала популярність не тільки в середовищі викладачів і студентів, але й серед професіоналів.

Основними особливостями мови Паскаль є:

  1. Простота і природність мови. Наслідком цього є малий обсяг пам’яті, що займає транслятор і досить короткий опис конструкції мови. Разом з тим Паскаль дає змогу писати програми, складні за своєю структурою. Ця мова, зокрема використовується, як мова системного програмування.
  2. Побудова мови за принципами структурного програмування та структурної організації даних. Паскаль явно містить засоби, що реалізують основні керуючі структури класичного структурного програмування.
  3. Здійснення розробки трансляторів з мови Паскаль за допомогою доступних і добре опрацьованих методик.
  4. Транслятор дозволяє оптимізувати програму.

В даній роботі розглядається реалізація методів чисельного інтегрування на мові програмування Паскаль.

Розділ I Теоретична частина

1.1. Чисельне
інтегрування

Чисельне інтегрування — це обчислення значення визначеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. При розв’язуванні багатьох інженерних задач доводиться обчислювати визначені інтеграли від функцій, у тому числі і від заданих при окремих заданих значеннях аргументу (таблично).

Більшість чисельних методів інтегрування функцій спираються на ідею заміни підінтегральної функції деякою наближаючою її функцією , інтеграл від якої обчислюється досить просто. Наближення зазвичай здійснюється інтерполюванням у межах заданого діапазону змінювання аргументу.

У подальшому вважатимемо, що функція задана масивом (вектором) своїх значень у рівновіддалених точках діапазону змінювання аргументу від до так, що є кроком задання функції (одночасно це є крок інтегрування). На рис 1. наведено графічне подання такої функції.

Рис. 1. Графічне подання табличної функції

Якщо функція f неперервна на відрізку [a; b] і відома її первісна , то справедлива формула Ньютона-Лейбніца

Проте цією формулою важко і навіть практично неможливо скористатися тоді, коли первісну F не можна виразити в елементарних функціях, як, наприклад, у таких інтегралах , , ,
; підінтегральну функцію f задано таблично або графічно і її аналітичний вираз невідомий; аналітичний вираз первісної F досить складний і незручний для обчислень.

У цих випадках потрібно будувати формули для наближеного обчислення визначних інтегралів. Особливо важливе значення мають методи чисельного інтегрування функцій, в яких для знаходження наближеного значення визначеного інтеграла використовуються значення підінтегральної функції та її похідних у скінченій кількості точок, що належать переважно проміжку інтегрування. Такі формули обчислення наближеного значення визначних інтегралів називають формулами механічних квадратур, або квадратурними формулами.

1.2. Формула прямокутників

Наближене значення інтеграла , де f неперервна на [х0; х0 + h], можна знайти, якщо функцію f замінити інтерполяційним многочленом нульового степеня, тобто для всіх х0, х0 + h] покласти f (x) – f (c), де с 0, х0 + h]. Тоді дістанемо наближену рівність

.                            (1)

Якщо і неперервна на [х0, х0 + h], то наближену рівність (1) можна тлумачити геометрично так: за наближене значення площі криволінійної трапеції ABCD (рис. 1), обмеженої знизу віссю абсцис, зверху графіком функції f, а з боків прямими х = х0 і х = х0 + h, береться значення площі прямокутника MNCD. Тому формула (1) дістала назву формули прямокутників.

Рис. 1.

Якщо с = х0 або с = х0 + h, або , то (1) називають відповідно формулою лівих або правих, або середніх прямокутників.

Знайдемо залишкові члени формул прямокутників, припустивши, що підінтегральна функція f на [х0, х0 + h] має неперервну похідну першого порядку (для випадку формул лівих і правих прямокутників) і неперервну похідну другого порядку (для випадку формули середніх прямокутників).

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Realiz Chys Integr (1.3 MiB, Завантажень: 15)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9
завантаження...
WordPress: 23.29MB | MySQL:26 | 0,314sec