Курсова робота на тему: «ОСНОВНІ ЕЛЕМЕНТИ ТЕОРІЇ ЦІЛИХ ФУНКЦІЙ»

Зміст

І. Вступ……………………………………………………………….3

  1. Канонічний добуток і його рід…………….……………………4
  2. Представлення цілої функції у вигляді нескінченного добутку……………………………………………………………8
  3. Рід цілої функції. Теорема Пуанкаре..………………………….9
  4. Порядок цілої функції……………………………………………13
  5. Цілі функції порядку нижче за половину……………………….16
  6. Представлення мероморфної на комплексній площині функції у вигляді відношення двох цілих функцій……………………….17

ІІ. Література…………………………………………………………18

 

Вступ

Метою даної курсової роботи є розгляд основних елементів теорії цілих функцій. Елементи теорії цілих функцій включають в себе такі питання: канонічний добуток і його рід, представлення цілої функції у вигляді нескінченного добутку, рід цілої функції, теорема Пуанкаре, порядок цілої функції, цілі функції порядку нижче за половину, представлення мероморфної на комплексній площині функції у вигляді відношення двох цілих функцій.

У цих пунктах розглядається: диференціювання функції з певними заданими нулями; ряд канонічного добутку; канонічний добуток відповідної послідовності; теорема Пуанкаре, з якої ми отримуємо уявлення про характер прагнення М(r) до нескінченності для цілих функцій скінченного роду; теорема про рід і порядок функції f(z); існування променя на комплексній площині, вздовж якого функція f(z) обмежена; теорема Фрагмена- Ліндельофа.

1.Канонічний добуток і його рід.

Відомо, що поліном Р(z)= степеня n представляється у вигляді добутку

P(z)= (1)

і, навпаки, поліном Q(z) степеня n із заданими нулями має вигляд

Q(z)=,

де -будь-яке комплексне число

Якщо у цілої функції f(z) на комплексній площині є скінченне число нулів , то, очевидно, її можна представити у вигляді

f(z)=q(z) (2)

де q(z) – ціла функція, відмінна від нуля.

Узагальнення формули (2) на випадок, коли множина Е нулів цілої функції f(z) нескінченно, безумовно, представляє інтерес.

З теореми єдиності аналітичної функції виходить, що Е – скінченна множина

     Е= (3)

причому

     (4)

Без обмеження спільності можна припускати, що нумерація в (3) йде за збільшенням модулів тобто (серед рівних між собою по модулю нумерація ведеться у будь-якому порядку).

Легко побудувати цілу функцію f(z) із заданими нулями (3). Поки припускатимемо, що серед чисел (3) немає рівних нулю.

Пряме узагальнення формули (2) у вигляді

     f(z)=q(z) (5)

далеко не завжди можливо з тієї причини, що нескінченний добуток в правій частині (5) може не виявитися таким, що сходиться.

З метою узагальнення формули (2) Вейєрштрасс замість 1 ввів в розгляд так звані первинні множники

     (6)

Натуральні числа завжди можна підібрати так, щоб нескінченний добуток


виявився таким, що рівномірно (і абсолютно) збігається в будь-якій обмеженій частині площини z. Для цього досить прийняти, що тобто

                

     k=2,…, (7)

Позначимо через коло Воно містить усередині себе лише скінченне число точок послідовності (3). Усередині кола цілі функції ніде не використовуються.

Покажемо, що нескінченний добуток


(8)

збігається рівномірно (і абсолютно) в колі , де – будь-яке мале додатнє число.

Перш за все відмітимо, що, вибираючи вітку функції рівну нулю при z=0, і враховуючи ту обставину, що усередині кола її тейлорівський розклад має вигляд

            

для в силу (7) матимемо

                

тобто

    
(9)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Osnov Elem Teor Cil Funk (65.4 KiB, Завантажень: 7)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Osnov Elem Teor Cil Funk (1.1 MiB, Завантажень: 2)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6
завантаження...
WordPress: 23.17MB | MySQL:26 | 1,138sec