Курсова робота на тему: «ОПЕРАТОРИ В ГІЛЬБЕРТОВИХ ПРОСТОРАХ»

План

Вступ    3

I. Зв’язаний оператор    4

II. Приклади    8

III. Диференціальні оператори для функцій одної змінної    14

IV. Диференціальні оператори від функцій багатьох змінних    17

V. Цілком неперервні оператори    22

Висновки    25

Список використаної літератури    26

Вступ

Під «простором» R розуміється деяка множина елементів . У додатках в якості елементів розглядаються дійсні і комплексні числа, матриці, вектори, функції одного або декількох незалежних змінних, системи таких функцій, системи, що складаються з елементів різного роду, наприклад пари що складаються з функцій і чисел, і т.д.

Оскільки найчастіше в додатках зустрічаються «лінійні» простори, то ми надалі обмежимося розглядом лише таких просторів.

Простір R називається лінійним, якщо:

1)    у R визначена операція «складання», що підпорядковується звичайним правилам складання, тобто разом з будь-якими елементами f і g простору R належить також елемент f + g і в R є нульовий елемент , такий, що для всіх ;

2)    у R визначено множення елементу f на числа де-якого поля K, що підпорядковуються звичайним правилам векторної алгебри, тобто при і простору R належить елемент сf. У якості K частіше всього використовують поле рациональних, дійсних або комплексних чисел.

Розглянемо відображення (або оператор) Т, яке даному елементу f (прообразу) простору R однозначно ставить у відповідність елемент h (образ) деякого лінійного простору R* (при цьому часто ). Якщо — числовий простір, тобто оператор Т елементa f ставить у відповідність число, то оператор Т називається функціоналом;


якщо R* складається тільки з дійсних чисел, то Т називається дійсним функціоналом.

Оператор Т називається лінійним, якщо він визначається для всіх
(або принаймні на деякшй лінійнійній множині) і для всіх елементів
і всіх виконується рівність

(1-1)

Інакше оператор Т називається нелінійним.

I. Зв’язаний оператор

Нехай в унітарному просторі R на щільній множині D визначений оператор Т, що відображає D, в простір R. Якщо є два таких елементу g, , що для всіх

,    (1.1)

то вважають g* = T*g і називають оператора T* спряженим до T; при цьому фіксованому g відповідає лише один елемент g*, що володіє властивістю (1.1). Насправді, з рівності , справедливого для всіх витікало б, що , звідки , оскільки множина D щільно в R. Зокрема,
. Область визначення оператора T* позначимо через D*; вона завжди містить . Припустимо, що спряжений оператор T* існує для деяких елементів
, і покладемо ;

тоді


отже

)

тобто спряжений оператор лінійний, а множина D
є лінійне різноманіття.

Кожен неперервний лінійний оператор Т, визначений у всьому гильбертовому просторі R і R, що відображає, в себе, має спряженого оператора Т*. Дійсно, для будь-якого фіксованого є неперервним лінійним функціоналом, визначеним в R, і за теоремою Рісса для нього існує однозначно визначений елемент , для якого виконується рівність (1.1). Областю визначення оператора Т* також служить весь гильбертовий простір R.

Означення. Оператор Т називається самосопряженным, якщо Т = Т*.

Означення. Оператор Т називається замкнутим, якщо для будь-якої послідовності із співвідношень і
виходить, що і . Спряжений оператор завжди замкнутий.

Для оператора Т* побудуємо спряжений оператор T**; тоді

.    (1.2)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Operatory V-Gilbertovyh Prostorah (781.5 KiB, Завантажень: 3)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8
завантаження...
WordPress: 23.36MB | MySQL:26 | 0,640sec