Курсова робота на тему: «НЕПЕРЕРВНІ ФУНКЦІОНАЛИ ТА СПРЯЖЕНИЙ ПРОСТІР»

Зміст:

І. Неперервні лінійні функціонали    3

1.1. Неперервні лінійні функціонали в топологічних лінійних просторах.    3

1.2. Лінійні функціонали на нормованих просторах.    4

1.3. Теорема Хана—Банаха в нормованому просторі.    9

 

ІІ. Спряжений простір    14

2.1. Визначення спряженого простору.    14

2.2. Сильна топологія в спряженому просторі.    15

2.3. Приклади спряжених просторів.    18

Список використаної літератури:    21

. Неперервні лінійні функціонали

1.1. Неперервні лінійні функціонали в топологічних лінійних просторах.

Якщо йдеться про функціонали, задані на топологічному лінійному просторі, то основний інтерес представляють неперервні функціонали; як зазвичай, функціонал f, визначений на просторі Е, називається неперервним, якщо для будь якого хо
Е і довільного ε > 0 існує існує такий окіл U елемента х0, що:

׀ f(x)-f(xo)׀ < ε при х U                        (1)

Це визначення відноситься, зокрема, і до лінійних функціоналів.

Якщо Е — скінченномірний топологічний лінійний простір, то довільний лінійний функціонал на Е автоматично неперервний. В загальному випадку з лінійності функціонала його неперервність не витікає.

Якщо лінійний функціонал f неперервний в якій-небудь одній точці

х Е, то він неперервний і на всьому Е.

Дійсно, нехай у — довільна точка в Е і нехай ε > 0. Виберемо окіл U точки х так, щоб виконувалася умова (1). Тоді зсув цього околу

V = U + (у-x)

буде шуканим околом точки у, оскільки якщо z V, то z+x-y U, отже

׀ f(z)-f(y) ׀ = ׀ f(z-y+x)-f(x) ׀ < ε

Таким чином, перевіряти неперервність лінійного функціонала достатньо в одній точці, наприклад в точці 0.

Якщо Е — простір з першою аксіомою зліченості, то неперервність лінійного функціонала на Е можна сформулювати в термінах послідовностей: функціонал f називається незперервним в точці х Е, якщо при xn→x слідує f(xn)→f(x).

Теорема 1. Для того, щоб лінійний функціонал f був неперервний на Е, необхідно і достатньо, щоб існував такий окіл нуля в Е, на якому функціонал f обмежений.

Доведення: Якщо функціонал f неперервний в точці 0, то для кожного ε > 0 існує окіл нуля, на якому

׀ f(x) ׀ < ε

І навпаки, нехай U — такий окіл нуля, що

׀ f(x) ׀ <С при х U

і нехай ε > 0. Тоді є тим околом нуля, на якому ׀f(x)׀ < ε. Тим самим доведена неперервність f в точці 0, а значить, і всюди.

1.2. Лінійні функціонали на нормованих просторах.

Нехай даний простір Е нормований. За теоремою 1 всякий неперервний лінійний функціонал f обмежений в деякому околі нуля. Але в нормованому просторі всякий окіл нуля містить кулю і значить f обмежений на деякій кулі. В силу лінійності функціонала це рівносильне його обмеженості на будь-якій кулі, зокрема, на одиничній . І навпаки, з обмеженості функціонала f на одиничній кулі слідує, в силу теореми 1, його неперервність (бо внутрішність цієї кулі є околом нуля).

Отже, в нормованому просторі лінійний функціонал неперервний тоді і тільки тоді, коли його значення на одиничній кулі обмежені в сукупності.

Нехай f — неперервний лінійний функціонал в нормованому просторі Е. Число

                (2)

тобто точну верхню границю значень ׀ f(х) ׀ на одиничній кулі простору Е, ми назвемо нормою функціонала f.

Розглянемо приклади лінійних функціоналів в нормованих просторах.

1. Нехай Rп є n-мірний евклідовий простір і а — який-небудь фіксований вектор в ньому. Скалярний добуток

f(x)=(x,a)

де х пробігає все Rп, є, очевидно, лінійним функціоналом на Rп. В силу нерівність Коші — Буняковського

׀ f(x) ׀ = ׀ (x,a) ׀ ≤         (3)

отже, цей функціонал обмежений, а значить, і неперервний на Rn. З нерівності (3) одержуємо, що

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Neper Funkcionaky Ta Spryag Prost (1.5 MiB, Завантажень: 6)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6
завантаження...
WordPress: 23.44MB | MySQL:29 | 1,062sec