Курсова робота на тему: «НАЙКРАЩЕ НАБЛИЖЕННЯ ФІКСОВАНОГО ЕЛЕМЕНТА В ПРОСТОРАХ С І Lp»

Зміст

Вступ………………………………………………………………………………………………………… 2
§ 1. Існування і єдиність елемента найкращого наближення в С і Lp…………… 3
§ 2. Теореми Чебишова і Валле-Пуссена………………………………………………….…. 6
§ 3. Критерії елемента найкращого наближення в у випадку наближення підпростором…………………………………………………………………………..  

12

§ 4. Критерії найближчого елемента в С і Lp у випадку наближення замкнутою опуклою множиною…………………………………………………………………

16

§ 5. Функції Бернуллі і їх найкраще наближення тригонометричними поліномами в метриці L……………………………………………………………………………..

19

Висновки…………………………………………………………………………………………………. 29
Література………………………………………………………………………………………………. 30

 

Вступ

В курсовій роботі буде доведено декілька фактів, пов’язаних з існуванням, єдиністю і характеристичними властивостями елементу найкращого наближення в просторах С і Lp. Основна увага приділена критеріям елемента найкращого наближення, які будуть використані при розв’язані екстремальних задач.

Розглянутий також важливий для подальшого приклад на обчислення найкращого наближення в метриці L функцій Бернуллі.

В і розглядатимуться простори -періодичних функцій:

С — простір неперервних на всій осі періоду функцій з нормою


— простір -періодичних сумовних на в р-ому степені функцій , норма в якому визначена рівністю


(інтеграл скрізь розуміється в сенсі Лебега).

— простір -періодичних істотно обмежених на всій осі функцій з нормою


Зрозуміло, що якщо f неперервна, то

Домовимося ще замість писати , маючи на увазі, що , .

Твердження 1.
Будь-який скінченно-вимірний підпростір F лінійно-нормованого простору X є множиною існування.

Твердження 2.
Якщо F — опукла множина (зокрема, підпростір) лінійно-нормованого простору X, то множина елементів найкращого наближення для в F є опуклою.

§ 1. Існування і єдиність елемента найкращого наближення в С і Lp

Відмітимо відразу, що в просторах С і , так само як і в просторах і
, будь-яка локальна компактна множина і, зокрема, будь-який скінченно-вимірний підпростір є множиною існування.

У просторах С і періодичних функцій природним апаратом наближення є тригонометричні поліноми. Надалі через ми завжди позначатимемо тригонометричний поліном


степеня
. Система функцій

,        (2)

лінійною комбінацією яких є , лінійно незалежна. Дійсно, якщо


то, помноживши обидві частини тотожності послідовно на функції системи (2) і інтегруючи по періоду , виявимо, що всі коефіцієнти і рівні нулю.

Таким чином, при фіксованому множина поліномів (1) є підпростором (в С або ) розмірності . Ми його будемо позначати , а для найкращого наближення функції , де X є C або , підпростором — введемо традиційне позначення:


Твердження 3.
Якщо норма простору X строго опукла і для в підпросторі існує елемент найкращого наближення то цей елемент єдиний.

Із твердження 1 випливає

Твердження 4.
Для будь-якої функції де X є C або
в підпросторі існує поліном найкращого наближення, тобто існує тригонометричний поліном степеня такий, що


ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Najkr Nabl Fiks El (148.9 KiB, Завантажень: 4)

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Najkr Nabl Fiks El (1.2 MiB, Завантажень: 4)

Сторінка: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
завантаження...
WordPress: 23.33MB | MySQL:26 | 0,341sec