КУРСОВА РОБОТА НА ТЕМУ: «Моделювання випадкових процесів»

Зміст

Вступ……………………..3

  1. Загальні положення та визначення моделі. …………………….5
  2. Основні вимоги та принципи побудови моделі. …………………….5
  3. Класифікаційні ознаки моделей. …………………………..………….7
  4. Модельвання випадкових процесів. ..………………………….10
  5. Праклад випадкових процесів. ..………………………………………10
  6. Аналіз рішень. ..……… ………13
  7. Імітаційне моделювання. …………………..15
  8. Етапи процесу побудови математичної моделі. …………………15
  9. Труднощі при побудові математичної моделі. ……….16
  10. Приклади в задачах. ……………..…17
  11. Метод Монте-Карло, як різновид імітаційного моделювання……22

    Висновок ………..27

    Список використаної літератури: ……28

    Вступ

    Метою курсової роботи є ознайомлення з моделями та моделюванням випадкових процесів, вивчення та дослідження моделей випадкових процесів.

    Предметом дослідження даної роботи є методи моделювання випадкових процесів.

    Об’єктами дослідження – застосування
    на практиці моделювання випадкових процесів.

    Основним завданням курсової роботи є:

  • Ознайомлення з моделями;
  • Ознайомлення з моделюванням випадкових процесів;
  • Дослідження аналіз рішень, як модель випадкових процесів;
  • Дослідження імітаційного моделювання. Загальна характеристика і приклади.
  • Ознайомлення з
    методом Монте-Карло, як різновидом імітаційного моделювання.

    Випадкові процеси зустрічаються в нашому житті досить часто. Хоча не можна дати однозначної відповіді на результат конкретної події або процесу, існують деякі їх закономірності, вивчення та дослідження яких допомагає людині прийняти правильне рішення в певних умовах або визначити стратегію поведінки. Досліідження закономірностей випадкових процесів у техніці сприяє підвищенню її надійності, поліпшенню параметрів апаратури, зменшенню матеріальних витрат та ін. Дослідження випадкових процесів на залізничному транспорті сприяє підвищенню безпеки та надійності руху, у медицині – попереджується розповсюдження епідемій, в іграх у ролетку – підвищити ймовірність виграшу.

    Дана робота складається з п’яти розділів. В першому розділі йде мова про основні характеристики моделі. Існує велика кількість класифікаційних ознак моделей. В даній роботі розглядається матеріальні та нематеріальні, вербальні та знакові моделі. За призначенням моделі поділяютьсяна науково-дослідницькі, імітаційні, навчальні, ігрові. В другому — про моделювання випадкових процесів і їх практичного застусування. Третій розділ присвячений загальній характеристиці аналізу рішень, як моделі випадкових процесів. В четвертому розділі йдеться про імітаційне моделювання, його загальна характеристика і застосування. В п’ятому розділі розповідається про метод Монте-Карла, як різновиду імітаційного моделювання.

    Дана тема є актуальною тому що вивчається врізних галузях науки, зокрема в економіці.

    Для отримання доцільної інформації була використана наукова література.

     

  1. Загальні положення та визначення моделі

    Модель – це сукупність найважливіших властивостей об’єкта, процесу, явища, яка визначається метою її створення і може мати різні форми вираження. Процес створення моделі називають моделюванням

    Моделі процесів можуть розроблятися для матеріальних об’єктів, наприклад, модель плавлення металу в доменній печі, модель ковзання вантажу з похилої поверхні, модель розповсюдження морської хвилі, а також модель для суспільних, економічних та інших процесів. Наприклад, існують моделі економічного розвитку підприємства, галузі, держави, модель розвитку суспільства протягом певного періоду тощо.

    Приклади моделей явищ: модель землетрусу, яка дозволяє оцінити його наслідки та визначити технічні вимоги на будівництво споруд; модель руху циклонів, яка дозволяє прогнозувати погоду на певний період; модель винекнення тайфуну, що дозволить попередити населення про загрозу.

    Кожен оригінал може мати велику кількість різноманітних моделей. Конкретний тип моделі визначається метою її розробки, а також тими засобами та методами, які для цього використовуються. Наприклад, моделі земної кулі може бути виготовлена у вигляді глобуса за допомогою картону, клею і фарби. Модель земної кулі може також бути створена на екрані монітора комп’ютера за допомогою графічного редактора.

  2. Основні вимоги та принципи побудови моделі

    Під час побудови моделі потрібно врахувати такі вимоги:

  • Незалежність результатів розв’язання задач від конкретної фізичної інтерпритації елементів моделі;
  • Змістовність, тобто здатність моделі відображати істотні риси і властивості реального процесу, який вивчається і моделюється;
  • Дедуктивність, тобто можливість конструктивного використання моделі для отримання результату;
  • Індуктивність – вивчення причин і наслідків, від окремого до загального, з метою накопичення необхідних знань.

    Розглянемо коротко основні принципи моделювання, які відображають достатньо багатий досвід, накопичений на даний час у галузі розроблення і використання моделей.

  • Принцип інформаційної достатності. За повної відсутності інформації про систему модель побудувати неможливо. За наявності повної інформації про систему її моделювання недоцільне. Існує деякий критичний рівень апріорних відомостей про систему (рівень інформаційної достатності), після досягнення якого можна побудувати її адекватну модель.
  • Принцип доцільності. Модель створюється для досягнення деяких цілей, які визначають на первинному етапі формулювання проблеми моделювання.
  • Принцип здійсненності. Модель, яка створюється, має забезпечувати досягнення мети дослідження з урахуванням граничних ресурсів з імовірністю, суттєво відмінною від нуля, і за кінцевий час. Звичайно задають деяке граничне значення Р (ступінь ризику) ймовірності досягнення мети моделювання Р(і), а також сам граничний термін і досягнення мети. Модель вважають здійсненною, якщо Р(і) > Р.
  • Принцип множинності моделей. Модель, яка створюється, має відображати в першу чергу ті властивості реальної системи (або явища), які впливають на вибраний показник ефективності. Відповідно під час використання будь-якої конкретної моделі пізнаються лише деякі складові реальності. Для повного її дослідження необхідно мати ряд моделей, які дали б змогу відобразити певний процес з різних боків і з різним ступенем детальності.
  • Принцип агрегації. У більшості випадків складну систему можна подати такою, що складається з агрегатів (підсистем), для адекватного формального описування яких придатними є деякі стандартні математичні схеми. Принцип агрегації дає змогу досить гнучко перебудовувати модель залежно від завдань дослідження.
  • Принцип параметризації. У ряді випадків модельована система має у своєму складі деякі відносно ізольовані підсистеми, які характеризуються певними параметрами, у тому числі векторними. Такі підсистеми можна замінювати
    в моделі відповідними числовими величинами, а не описувати процес їх функціонування. У разі необхідності залежність значень цих величин від ситуації може задаватись у вигляді таблиць, графіків або аналітичних виразів (формул), наприклад за допомогою регресійного аналізу. Принцип параметризації дає змогу скоротити обсяг і тривалість моделювання, але слід мати на увазі, що параметризація знижує адекватність моделі
    .
  1. Класифікаційні ознаки моделей

    Існує велика кількість класифікаційних ознак моделей. Розглянемо декілька найсуттєвіших з них.

    Моделі поділяються на матеріальні та нематеріальні.
    Матеріальні
    – це реальні, фізично існуючі моделі, тобто ті, які можна побачити та доторкнутися. Приклади матеріальних об’єктів: іграшка автомобіля, фізичний приклад демострації взаємодії електромагнітних полів, макет космічного корабля тощо. Матеріальні моделі є носіями хімічних, геометричних, фізичних та інших властивостей реального об’єкта, процесу, явища.

    Нематеріальні моделі описують властивості оригінала, тобто є сукупністю певної інформації. Тому ці моделі називаються ще інформаційними. Інформаційні моделі поділяються на вербальні та знакові. Вербальні (verbalis – усний) існують у свідомості людини та описуються словесно (усно або словесно). Такі моделі значною мірою визначається фантазією людини.

    Знакові моделі створюються за допомогою спеціальних знаків, приклади: схема міського метрополітету, географічна карта місцевості, програма розв’язку задачі мовою Pascal, формула закону Ома та ін.

    Серед знакових моделей особливе значення мають математичні моделі, тобто формули, які визначають властивості та взаємозв’язки між різними параметрими об’єктів, процесів, явищ. Їх особлива роль визначається тим, що, з однієї сторони, багато процесів та явищ можна описати за допомогою математичних формул, з іншої, — вони чудово реалізуються та досліджуються на комп’ютері. Його мультемедійні можливості (поєднання звуку, тексту, анімацій, відеозображень) дозвляють створити та обробляти інформаційні моделі різноманітних предметних галузей. Моделі, які реалізуються на комп’ютері, називаються комп’ютерними моделями. Важливою особливістю комп’ютерного моделювання є його інтерактивність – наявність можливості користувача в процесі моделювання та впливу на його результати. Вона забезпечується завдяки узгодженості дій користувача та моделі, яка відтворює об’єкти реального середовища або гіпотетичні події та процеси.

    За призначенням моделі поділяютьсяна науково-дослідницькі, імітаційні, навчальні, ігрові та ін. Науково-дослідницькі моделі створюються з метою дослідження об’єкта, процесу, явища в певних умовах. Наприклад, існують моделі (математичні або фізичні) нервової клітини, дослідження яких допомагає створити та удосконалити теорію її збудження. Імітаційні моделі також розробляються в основному для дослідницьких цілей. Наприклад, на комп’ютері може бути реалізована модель функціонування електронних схем окремих пристроїв, алгоритмів із метою визначення правильності їх розробки, надійності та якості.

    До навчальних моделей відносяться наочні прилади, плакати, схеми, тренажерні системи та ін. Особливо широко використовується ці моделі в медицині, космонавтиці, біології.

    До ігрових моделей відносяться спортивні, економічні, військові штабні ігри на географічних картах, на яких програються різноманітні ситуації та визначається стратегія дій у певних умовах.

    Розрізняють статистичні й динамічні моделі. Статистична мадель фіксує стан об’єкта, процесу, явища на певний момент часу. Наприклад, стан дорожньго руху в мікрорайоні у годину пік, покази приладів літака в момент відриву від злітної смуги.

    Динамічна модель відображає поведінку об’єкта протягом певного часу. Наприклад, координати та основні покази приладів літака через кожну секунду під час зльоту. Динамічні моделі можуть досліджуватися в реальному маштабі час, у скороченому та збільшеному часі. Наприклад, процес плавлення металу, який реально здійснюється протягом декількох годин, можна змоделювати протягом десяти хвилин. Фізичні процеси в електричних схемах, які реально протікають за декілька мікросекунд, можуть досліджуватись на моделях у такому маштабі часу, які дозволяють побачити певні процеси та проаналізувати їх у будь-який момент часу.

    Виділяють таке інформаційне моделювання: моделювання випадкових процесів, моделювання варіантів вибору, моделювання фізичних процесі, моделювання хімічних процесів.

  2. Моделювання випадкових процесів

    В даній роботі розглянемо моделювання випадкових процесів.

    Випадковий процес – це процес (тобто зміна в часі стану деякої системи чи об’єкта), який розвивається під впливом якихось випадкових чиників і для якого задано ймовірнісні характеристики його протікання. До числа таких процесів можна віднести багато виробничих процесів, з якими можна зустрічатись у природничих науках, економіці, соціології тощо

    Випадкові процеси зустрічаються в нашому житті досить часто. Наприклад, який номер білета дістанеться студенту з тих 29, які лежать на столі; з яким рахунком закінчиться футбольний поєдинок двох команд, розташованих у турнірній таблиці поруч, скільки очок набере спортсмен на змаганнях зі стендової стрільби; який урожай зернових буде в державі в поточному ріці, яка карта буде взята з колоди гральних карт та ін.

    Хоча не можна дати однозначної відповіді на результат конкретної події або процесу, існують деякі їх закономірності, вивчення та дослідження яких допомагає людині прийняти правильне рішення в певних умовах або визначити стратегію поведінки. Досліідження закономірностей випадкових процесів у техніці сприяє підвищенню її надійності, поліпшенню параметрів апаратури, зменшенню матеріальних витрат та ін. Дослідження випадкових процесів на залізничному транспорті сприяє підвищенню безпеки та надійності руху, у медицині – попереджується розповсюдження епідемій, в іграх у ролетку – підвищити ймовірність виграшу. Вивчення та дослідження випадкових процесів у сучасних умовах здійснюється, як правило, за допомогою комп’ютера.

  3. Приклад випадкових процесів

    Приклад 1. Два гравці по черзі кидають один кубик. Кількість очок, що випали, додається до попередньої суми очок кожного гравця. Аналіз отриманих сум виконується після чергового кидка обох гравців. Переможцем визначається той гравець, у якого першим сума очок стане більше 77. Якщо після певного кидка сума очок буде більшою 77 в обох гравців, то гра починається з початку до визначення переможця.

    Незважаючи на те, що гравці знаходяться в різних умовах (вони кидають по черзі один кубик на одну поверхню, сума набраних очок аналізується після кидка обох гравців), результат кидка, тобто кількість отриманих очок – це випадковий процес, тому що крім названих є ще значна кількість факторів (положення кубика в долоні, сила кидка, кут нахилу та ін.), які впливають на результат кидка.

    Одним із можливих підходів до моделювання цієї гри на комп’ютері може бути такий. Позначимо першого гравця літерою A, другого – літерою B. Нехай S(A) – це початкова сума очок гравця A, S(B) – початкова сума очок грвця B, a – кількість очок гравця A в поточному кидку, b – кількість очок гравця B в поточному кидку. До початку гри початкові суми очок обох гравців дорівнюють нулю.


  4. З урахуванням цих позначень модель гри можна описати таким чином.

    1. На початку гри
    2. Отримати від комп’ютера випадкове число a у діапазоні від 1 до 6.
    3. Збільшити поточну суму очок S(A) на a очок.
    4. Отримати від комп’ютера випадкове число b у діапазоні від 1 до 6.
    5. Збільшити поточну суму очок S(B) на b очок.
    6. Якщо і , то – «нічия, почати гру з пункту 1».
    7. Якщо і , то – «продовжити гру з пункту 2».
    8. Якщо і , то «виграв гравець A». Кінець гри.
    9. Якщо і , то «виграв гравець B». Кінець гри.

    Для розробленої моделі може бути складена програма її дослідження на будь-якій мові програмування. На основі даних, отриманих у процесі багаторазового виконання програми, можна визначити стратегію поведінки гравців.

    Вирізняють деякі моделі випадкових процесів, а саме: імітаційне моделювання, аналіз рішень, прогнозуюче моделювання.

    Прогнузуюче моделювання – це метод побудови моделі вякій певні показники майбутніх станів можуть бути передбаченими або ймовірними (наприклад, прогноз погоди, що грунтується на поточному значені температури, вологості, швидкості повітряних потоків тощо у різних місцевостях).

  5. Аналіз рішень

    Аналіз рішень пропонує загальну основу для проведення аналізу широкого круга управлінських моделей. Тобто, це наявність системи класифікацій моделей ухвалення рішень в залежності від інформації, закладеної в моделях.

    В загальному випадку теорія прийняття рішень є трактує рішення як рішення, що приймаються проти припроди. Це означає, що результат окремого рішення залежить від дій іншого гравця (природи), якого ви не можете контролювати. Наприклад, результат рішення брати або не брати парасольку, виходячи з будинку, залежить тільки від стану погоди. Тут поважно відзначити, що в цій моделі результат виявляється тільки після вашого акту ухвалення рішення — природа сама не робить першого кроку і їй байдуже вирішене вами. У цьому полягає кардинальна відмінність теорії ухвалення рішень від теорії ігор. У теорії ігор обидва гравці мають економічний інтерес.

    У моделях теорії ухвалення рішень основною формою даних служить таблиця платежів, подібна таблиця. 1. У цій таблиці альтернативи рішень розташовуються в лівому стовпці таблиці, а можливі стани природи є заголовками стовпців, розташованих праворуч від стовпця альтернатив.

    Таблиця 1. Таблиця платежів

    Рішення

    Стани природи

    1

    2

    m

    У таблиці представлені значення платежів для всіх можливих комбінацій рішень і станів природи. Процес ухвалення рішення можна

  6. Ви, як особа, що ухвалює рішення, вибираєте одне з можливих альтернативних рішень. Припустимо, ви вибрали рішення .
  7. Після вибору рішення перевіряється поточний стан природи. Хай природа знаходиться в комірті 2.
  8. Тепер ваш платіж (виграш або програш, якщо значення платежу негативне), отриманий в результаті ухвалення вами певного рішення, знаходиться в таблиці платежів. Оскільки ви вирішили , а природа знаходиться в комірці 2, то ваш платіж рівний .

    Отже, спочатку приймається рішення, потім визначається стан природи. Після ухвалення рішення ви не можете змінювати стан природи. Як же вирішити, яку альтернативу вибрати? Вибрана альтернатива визначається максимально можливий платіж де i — номер відповідної альтернативи, а j — номер стану природи (якщо платіж — це виграш). Звичайне рішення приймається в залежності від того, який стан природи ми чекаємо. Якщо ми припускаємо, що очікується стан 1, то вибираємо рішення, яке відповідає максимальному платежу при цьому стані природи.

     

  9. Імітаційне моделювання

    Імітаційне моделювання – це метод конструювання моделі системи та проведення експерементів на моделі. Сутєвими особливостями цього виду моделювання є опис структури модельованої системи, застосування засобів відтворення функціонування (поведінки) системи на моделі, відображення властивостей середовища, в якому функціонує досліджувальна системаю

    Імітаційне моделюванням застосовується до процесів, в хід яких може час від часу втручатися людська воля. Людина, керівна операцією, може залежно від обстановки, що склалася, ухвалювати ті або інші рішення, подібно до того, як шахіст дивлячись на дошку, вибирає свій черговий хід. Потім приводиться в дію математична модель, яка показує, яке очікується зміна обстановки, у відповідь на це рішення і до яких наслідків воно приведе через деякий час. Наступне поточне рішення ухвалюється вже з урахуванням реальної нової обстановки і так далі В результаті багатократного повторення такої процедури керівник як би «набирає досвід», вчиться на своїх і чужих помилках і поступово вивчатися ухвалювати правильні рішення – якщо не оптимальні, то майже оптимальні.

  10. Етапи процесу побудови математичної моделі

    Спробуємо проілюструвати процес імітаційного моделювання через порівняння з класичною математичною моделлю.

    Етапи процесу побудови математичної моделі складної системи:

  11. Формулюються основні питання про поведінку системи, відповіді на яких ми хочемо отримати за допомогою моделі.
  12. З безлічі законів, керівників поведінкою системи, вибираються ті, вплив яких істотно при пошуку відповідей на поставлені питання.
  13. У поповнення до цих законів, якщо необхідно, для системи в цілому або окремих її часток формулюються певні гіпотези про функціонування.
  14. Труднощі при побудові математичної моделі

    Критерієм адекватності моделі служить практика.

    Труднощі при побудові математичної моделі складної системи:

ЗАВАНТАЖИТИ

Для скачування файлів необхідно або Зареєструватись

Моделювання випадкових процесів (222.4 KiB, Завантажень: 1)

Сторінка: 1 2 3
завантаження...
WordPress: 23.15MB | MySQL:26 | 0,620sec